Question

【题目】如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．

（1）求抛物线的函数解析式．
（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，若四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标．
（3）联接BC交x轴于点F．y轴上是否存在点P，使得△POC与△BOF相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），

将点A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0），代入可得： ，

解得： ，

故抛物线函数解析式为：y=x2+2x

（2）解：∵AO为平行四边形的一边，

∴DE∥AO，DE=AO，

∵A（﹣2，0），

∴DE=AO=2，

∵四边形AODE是平行四边形，

D在对称轴x=﹣1的右侧，D点横坐标为：﹣1+2=1，带入抛物线解析式得y=3，

∴D的坐标为（1，3）

（3）解：在y轴上存在点P，使得△POC与△BOF相似，理由如下：

由y=x2+2x，顶点C的坐标为（﹣1，1），

∵tan∠BOF= =1，

∴∠BOF=45°，

当点P在y轴的负半轴时，tan∠COP= =1，

∴∠COP=45°，

∴∠BOF=∠COP，

设BC的解析式为y=kx+b（k≠0），

∵图象经过B（﹣3，3），C（﹣1，﹣1）

∴ ，

∴ ，

∴y=﹣2x﹣3；

令y=0，则x=﹣1.5．

∴F（﹣1.5，0），

∴OB=3 ，OF=1.5，OC= ，

①当△POC∽△FOB时，

则 = ，

即 = ，

∴OP= ，

∴P（0，﹣ ）；

②当△POC∽△BOF时，

∴ = ，

∴OP=4，

∴P（0，﹣4），

∴当△POC与△BOF相似时，点P的坐标为（0，﹣ ）或（0，﹣4）．

【解析】（1）主要考察抛物线的解析式，只需将已知点代入y=ax2+bx+c（a≠0），即可解出a、b、c带入原式得到抛物线的解析式。
（2）把抛物线和平行四边形结合起来考察，利用平行四边形的特征找到于AO平行且相等的线段，且两端点分别在抛物线和抛物线的对称轴上，由对称轴得出横坐标，代入抛物线方程解出D点坐标，解题思路主要是平行四边形性质结合抛物线方程。
（3）相似三角形对应边的比值相等，解题思路利用抛物线解出过点AB的方程，根据直线方程得到F坐标，三角形要相似，对应边的比值要相等，从而找到P点坐标，此题主要考察三角形相似的性质，直线方程与抛物线结合，还用到解直角三角形。整个大题最容易被扣分的就是有多种情况，容易做漏，所以我们在考虑时应该假设多种情况一一排除。