Question

4．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF=45°，且AE+AF=2$\sqrt{3}$，则平行四边形的周长4$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 由AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF=45°，即可求得∠C的度数，又由四边形ABCD是平行四边形，证得△ABE，△ADF是等腰直角三角形，继而可得AB+AD=$\sqrt{2}$（AE+AF），则可求得答案．

解答 解：∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠C=360°-∠EAF-∠AEC-∠AFC=135°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠B=∠D=45°，
∴AB=$\frac{AE}{sin45°}$=$\sqrt{2}$AE，AD=$\frac{AF}{sin45°}$=$\sqrt{2}$AF，
∵AE+AF=2$\sqrt{3}$，
∴AB+AD=$\sqrt{2}$（AE+AF）=2$\sqrt{6}$，
∴平行四边形的周长为：4$\sqrt{6}$．
故答案为：4$\sqrt{6}$．

点评 此题考查了平行四边形的性质以及等腰直角三角形性质．注意能证得△ABE，△ADF是等腰直角三角形是关键．