Question

1．已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=9cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿BA向点A匀速移动．当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？
（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由．
（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．（图（3）供做题时使用）

Answer 1

分析 （1）根据线段垂直平分线的性质得到AP=AQ，根据等腰三角形的性质得到CE=CQ，根据勾股定理求出AB，列式计算即可；
（2）作PM⊥BE，交BE于M，根据正弦的定义用含t的代数式表示PM，根据三角形的面积公式求出函数关系式，根据二次函数的性质求出y的最小值；
（3）作PN⊥AC，交AC于N，证明△PAN∽△BAC，根据相似三角形的性质得到PN=6-$\frac{6}{5}$t，AN=8-$\frac{8}{5}$t，证明△QCF∽△QNP，根据相似三角形的性质解答即可．

解答 解：（1）∵点A在线段PQ的垂直平分线上，
∴AP=AQ，
∵∠DEF=45°，∠ACB=90°，∠DEF+∠ACB+∠EQC=180°，
∴∠EQC=45°，
∴∠DEF=∠EQC，
∴CE=CQ，
由题意知：CE=t，BP=2t，
∴CQ=t，
∴AQ=8-t，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB=10cm，
则AP=10-2t，
∴10-2t=8-t，
解得：t=2，
答：当t=2s时，点A在线段PQ的垂直平分线上；
（2）过P作PM⊥BE，交BE于M，
∴∠BMP=90°，
在Rt△ABC和Rt△BPM中，sinB=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{PM}{PB}$，
∴$\frac{PM}{2t}$=$\frac{8}{10}$，
解得，PM=$\frac{8}{5}$t，
∵BC=6cm，CE=t，
∴BE=6-t，
∴y=S_△ABC-S_△BPE
=$\frac{1}{2}$×BC×AC-$\frac{1}{2}×$BE×PM
=$\frac{1}{2}$×6×8-$\frac{1}{2}×$（6-t）×$\frac{8}{5}$t
=$\frac{4}{5}$t²-$\frac{24}{5}$t+24
=$\frac{4}{5}$（t-3）²+$\frac{84}{5}$，
∵a=$\frac{4}{5}$＞0，
∴抛物线开口向上，
∴当t=3时，y_最小=$\frac{84}{5}$，
答：当t=3s时，四边形APEC的面积最小，最小面积为$\frac{84}{5}$cm²；
（3）假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上，
过P作PN⊥AC，交AC于N，
∴∠ANP=∠ACB=∠PNQ=90°，
∵∠PAN=∠BAC，
∴△PAN∽△BAC，
∴$\frac{PN}{BC}$=$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AN}{AC}$，即$\frac{PN}{6}$=$\frac{10-2t}{10}$=$\frac{AN}{8}$，
解得，PN=6-$\frac{6}{5}$t，AN=8-$\frac{8}{5}$t，
∵NQ=AQ-AN，
∴NQ=8-t-（8-$\frac{8}{5}$t）=$\frac{3}{5}$t，
∵∠ACB=90°，B、C（E）、F在同一条直线上，
∴∠QCF=90°，∠QCF=∠PNQ，
∵∠FQC=∠PQN，
∴△QCF∽△QNP，
∴$\frac{PN}{FC}$=$\frac{NQ}{CQ}$，即$\frac{6-\frac{6}{5}t}{9-t}$=$\frac{\frac{3}{5}t}{t}$，
解得：t=1，
答：当t=1s，点P、Q、F三点在同一条直线上．

点评 本题考查的是线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质、二次函数的最值的确定，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、二次函数的性质是解题的关键．