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【题目】如图,已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于AB两点,抛物线y=x2+bx+c经过AB两点,点C是抛物线与x轴的另一个交点(与A点不重合).

1)求抛物线的解析式;

2)求ABC的面积;

3)在抛物线的对称轴上,是否存在点M,使ABM为等腰三角形?若不存在,请说明理由;若存在,求出点M的坐标.

【答案】解:(1直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于AB两点,

可得A10),B0﹣3),

AB两点的坐标分别代入y=x2+bx+c得:,解得:

抛物线解析式为:y=x2+2x﹣3

2)令y=0得:0=x2+2x﹣3,解得:x1=1x2=﹣3

C点坐标为:(﹣30),AC=4

SABC=AC×OB=×4×3=6

3)存在。

易得抛物线的对称轴为:x=﹣1假设存在M﹣1m)满足题意,

根据勾股定理,得

分三种情况讨论:

AM=AB时,,解得:

M1﹣1),M2﹣1

BM=AB时,,解得:M3=0M4=﹣6

M3﹣10),M4﹣1﹣6

AM=BM时,,解得:m=﹣1

M5﹣1﹣1

综上所述,共存在五个点使ABM为等腰三角形,坐标为M1﹣1),M2﹣1),M3﹣10),M4﹣1﹣6),M5﹣1﹣1

【解析】

试题1)根据直线解析式求出点A及点B的坐标,然后将点A及点B的坐标代入抛物线解析式,可得出bc的值,求出抛物线解析式

2)由(1)求得的抛物线解析式,可求出点C的坐标,继而求出AC的长度,代入三角形的面积公式即可计算

3)根据点M在抛物线对称轴上,可设点M的坐标为(﹣1m),分三种情况讨论,AM=ABBM=ABAM=BM,求出m的值后即可得出答案

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