【题目】如图,已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点,抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点,点C是抛物线与x轴的另一个交点(与A点不重合).
(1)求抛物线的解析式;
(2)求△ABC的面积;
(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点M,使△ABM为等腰三角形?若不存在,请说明理由;若存在,求出点M的坐标.
【答案】解:(1)∵直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点,
∴可得A(1,0),B(0,﹣3),
把A、B两点的坐标分别代入y=x2+bx+c得:,解得:。
∴抛物线解析式为:y=x2+2x﹣3。
(2)令y=0得:0=x2+2x﹣3,解得:x1=1,x2=﹣3。
∴C点坐标为:(﹣3,0),AC=4,
∴S△ABC=AC×OB=×4×3=6。
(3)存在。
易得抛物线的对称轴为:x=﹣1,假设存在M(﹣1,m)满足题意,
根据勾股定理,得。
分三种情况讨论:
①当AM=AB时,,解得:。
∴M1(﹣1,),M2(﹣1,)。
②当BM=AB时,,解得:M3=0,M4=﹣6。
∴M3(﹣1,0),M4(﹣1,﹣6)。
③当AM=BM时,,解得:m=﹣1。
∴M5(﹣1,﹣1)。
综上所述,共存在五个点使△ABM为等腰三角形,坐标为M1(﹣1,),M2(﹣1,),M3(﹣1,0),M4(﹣1,﹣6),M5(﹣1,﹣1)。
【解析】
试题(1)根据直线解析式求出点A及点B的坐标,然后将点A及点B的坐标代入抛物线解析式,可得出b、c的值,求出抛物线解析式。
(2)由(1)求得的抛物线解析式,可求出点C的坐标,继而求出AC的长度,代入三角形的面积公式即可计算。
(3)根据点M在抛物线对称轴上,可设点M的坐标为(﹣1,m),分三种情况讨论,①AM=AB,②BM=AB,③AM=BM,求出m的值后即可得出答案。
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点A在抛物线y=x2﹣2x+2上运动.过点A作AC⊥x轴于点C,以AC为对角线作矩形ABCD,连结BD,则对角线BD的最小值为_____.
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【题目】如图,四边形ABCD内接于⊙O,点I是△ABC的内心,∠AIC=124°,点E在AD的延长线上,则∠CDE的度数为( )
A. 56° B. 62° C. 68° D. 78°
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【题目】如图,在⊙O中,AB是直径,CD是弦,AB⊥CD于点E,BF∥OC,连接BC和CF,CF交AB于点G.
(1)求证:∠OCF=∠BCD;
(2)若CD=4,tan∠OCF=,求⊙O半径的长.
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【题目】一茶叶专卖店经销某种品牌的茶叶,该茶叶的成本价是80元/kg,销售单价不低于120元/kg.且不高于180元/kg,经销一段时间后得到如下数据:
销售单价x(元/kg) | 120 | 130 | … | 180 |
每天销量y(kg) | 100 | 95 | … | 70 |
设y与x的关系是我们所学过的某一种函数关系.
(1)直接写出y与x的函数关系式,并指出自变量x的取值范围;
(2)当销售单价为多少时,销售利润最大?最大利润是多少?
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【题目】在正方形网格中,建立如图所示的平面直角坐标系xOy,△ABC的三个顶点都在格点上,点A的坐标(4,4),请解答下列问题:
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1,并写出点A1、B1、C1的坐标;
(2)将△ABC绕点C逆时针旋转90°,画出旋转后的△A2B2C2,并求出点A到A2的路径长.
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【题目】在平面直角坐标系xOy内有三点:(0,﹣2),(1,﹣1),(2.17,0.37).则过这三个点_____(填“能”或“不能”)画一个圆,理由是_____.
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【题目】从甲地到乙地有两条公路,一条是全长600km的普通公路,另一条是全长480km的高速公路,某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45/ ,由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半,求该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间.
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