Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，AB＞AD，∠A＝60°，

（1）如图1，过点D作DH⊥AB于点H，MC平分∠DCB交AB边于点M，过M作MN⊥AB交AD边于点N，AN：ND＝2：3，平行四边形ABCD的面积为60，求MN的长度．

（2）如图2，E、F分别为边AB、CD上一点，且AE＝AD＝DF，连接BF、EC交于点O，G为AD延长线上一点，连接GE、GF和GO，若∠GFD＝∠EFB，求证：GO⊥EC．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）见解析

【解析】

（1）设AN=2x，DN=3x，得到AD=5x，解直角三角形得到AM=x，MNx，根据平行四边形的性质得到BC=AD，CD∥AB根据等腰三角形的性质得到BM=BC=AD=5x，根据平行四边形的面积列方程即可得到结论；

（2）连接CG，BG，根据平行四边形的性质得到AB=CD，AB∥CD，推出四边形AEFD是菱形，根据全等三角形的性质得到DG=BE，得到△ABG是等边三角形，求得BG=AB=CD，∠ABG=60°，推出四边形EBCF是平行四边形，根据等腰三角形的性质即可得到结论．

（1）∵AN：ND=2：3，

∴设AN=2x，则DN=3x，

∴AD=5x．

∵MN⊥AB，

∴∠AMN=90°．

∵∠A=60°，

∴AM=x，MNx．

∵DH⊥AB，

∴DHADx．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC=AD，CD∥AB，

∴∠DCM=∠BMC．

∵MC平分∠DCB，

∴∠DCM=∠BCM，

∴∠CMB=∠BCM，

∴BM=BC=AD=5x，

∴AB=6x．

∵平行四边形ABCD的面积为60，

∴ABDH=6xx=60，

∴x=2（负值舍去），

∴MN的长度为2；

（2）连接CG，BG．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AB∥CD．

∵AE=AD=DF，

∴四边形AEFD是菱形，

∴AD=EF=DF，AD∥EF，

∴∠BEF=∠A=∠CDG=60°．

在△FDG与△FEB中，

∵，

∴△FDG≌△FEB（ASA），

∴DG=BE，

∴AG=AB，

∴△ABG是等边三角形，

∴BG=AB=CD，∠ABG=60°．

在△BGE与△CDG中，

∵，

∴△BGE≌△CDG，

∴GE=GC．

∵AD∥EF∥BC，AD=EF=BC，

∴四边形EBCF是平行四边形，

∴CO=OE，

∴GO⊥EC．