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【题目】如图1,抛物线y=ax2﹣6x+c与x轴交于点A(﹣5,0)、B(﹣1,0),与y轴交于点C(0,﹣5),点P是抛物线上的动点,连接PA、PC,PC与x轴交于点D.

(1)求该抛物线所对应的函数解析式;

(2)若点P的坐标为(﹣2,3),请求出此时△APC的面积;

(3)过点P作y轴的平行线交x轴于点H,交直线AC于点E,如图2.

①若∠APE=∠CPE,求证:=

②△APE能否为等腰三角形?若能,请求出此时点P的坐标;若不能,请说明理由.

【答案】(1)y=x26x5;(2)15;(3)证明见解析;(4)能,P(1,0)或(2,3)或(76).

【解析】

试题分析:(1)把B、C坐标代入 解析式中可求得a,c的值,解析式即可求出;(2)过P作PQx轴交AC于点Q.由条件易求AC解析式.把P点横坐标到直线AC解析式中求出Q点坐标.则CPQ与APQ面积可求出,从而APC面积可求;(3)易证AP=PD,AH=DH,PHD ∽△COD,设OH=p.则PH=-p2+6p-5,DH=AH=5-p,OD=2p-5,利用=,求出p值,求的AH,OH的长,再根据平行线分线段成比例,得出=,可证明结论;设P(x,x26x5),则E(x,x5),分类讨论:当PA=PE,易得点P与B点重合,此时P点坐标为(1,0);当AP=AE,如图2,利用PH=HE得到|x26x5|=|x5|,当EA=EP,如图2,AE= EH= (x+5),PE=x2+5x,则x2+5x= (x+5),然后分别解方程求出x可得到对应P点坐标.

试题解析:(1)把B(-1,0)、C(0,-5)坐标代入y=ax2﹣6x+c中,得,解得抛物线解析式为y=x26x5;(2)设直线AC的解析式为y=mx+n,把A(5,0),C(0,5)代入得,解得直线AC的解析式为y=x5,作PQy轴交AC于Q,如图1,则Q(2,3),PQ=33)=6,SAPC=SAPQ+SCPQ=PQ5=×6×5=15;(3)①∵∠APE=CPE,PHAD,AP=PD,AH=DH.设OH=p,则PH=-p2+6p-5,DH=AH=5-p,OD=2p-5. ∵∠PHD=DOC=90°PDH=ODC,∴△PHD ∽△COD,=,解得p1=,p2=5(舍去).OH=,AH=.OCHE,==.能.设P(x,x26x5),则E(x,x5),当PA=PE,因为PEA=45°,所以PAE=45°,则点P与B点重合,此时P点坐标为(1,0);当AP=AE,如图2,则PH=HE,即|x26x 5|=|x5|,解x26x5=x5得x1=5(舍去),x2=0(舍去);解x26x5=x+5得x1=5(舍去),x2=2,此时P点坐标为(2,3);当EA=EP,如图2,AE= EH= (x+5),PE=x5x26x5)=x2+5x,则x2+5x= (x+5),解得x1=5(舍去),x2=,此时P点坐标为(76),综上所述,满足条件的P点坐标为(1,0),(2,3),(76).

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