Question

如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A、B分别在x轴与y轴上，已知A点坐标为（a，0），B点坐标为（0，b），且a，b满足+|2a﹣b﹣2|=0．D为y轴上一点，其坐标为（0，2），点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿线段AC﹣CB的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动时间为t秒．

（1）当点P经过点C时，求直线DP的函数解析式；

（2）①求△OPD的面积S关于t的函数解析式；

②如图②，把长方形沿着OP折叠，点B的对应点B′恰好落在AC边上，求点P的坐标．

（3）点P在运动过程中是否存在使△BDP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

 解：（1）∵a，b满足+|2a﹣b﹣2|=0，

∴，解得，

∴点坐标为（6，0），B点坐标为（0，10），

∴C（6，10），

设此时直线DP解析式为y=kx+b，如图1，

将D（0，2），C（6，10）代入得：，

解得：，

则此时直线DP解析式为y=x+2；

（2）①当点P在线段AC上时，OD=2，高为6，S=6；

当点P在线段BC上时，OD=2，高为6+10﹣t=16﹣t，S=×2×（16﹣t）=﹣t+16；

②设P（m，10），则PB=PB′=m，如图2，

∵OB′=OB=10，OA=6，

∴AB′==8，

∴B′C=10﹣8=2，

∵PC=6﹣m，

∴m²=2²+（6﹣m）²，解得m=

则此时点P的坐标是（，10）；

（3）存在，理由为：

若△BDP为等腰三角形，分三种情况考虑：如图3，

①当BD=BP₁=OB﹣OD=10﹣2=8，

在Rt△BCP₁中，BP₁=8，BC=6，

根据勾股定理得：CP₁==2，

∴AP₁=10﹣2，即P₁（6，10﹣2）；

②当BP₂=DP₂时，此时P₂（6，6）；

③当DB=DP₃=8时，

在Rt△DEP₃中，DE=6，

根据勾股定理得：P₃E==2，

∴AP₃=AE+EP₃=2+2，即P₃（6，2+2），

综上，满足题意的P坐标为（6，6）或（6，2+2）或（6，10﹣2）．