Question

 如图，已知△ABC，过A点作过AD∥BC，DF和AC交于E点，且AD=CF，连BE
（1）证明：E是DF中点；
（2）若BE⊥AC，∠C=60°，证明：△ABC是等边三角形．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）易证△ADE≌△CFE，根据全等三角形对应边相等可解题；
（2）根据垂直平分线性质可以求得BA=BC，根据一个角为60°的等腰三角形为等边三角形即可解题．

解答：解：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠CFE，∠DAE=∠FCE，
在△ADE和△CFE中，

∠ADE=∠CFE AD=CF ∠DAE=∠FCE

，
∴△ADE≌△CFE（ASA），
∴DE=EF，
∴E是DF中点；
（2）∵△ADE≌△CFE，
∴AE=CE，
∵BE⊥AC，
∴DE是AC垂直平分线，
∴BA=BC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵∠C=60°，
∴△ABC是等边三角形．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了等边三角形的判定，本题中求证△ADE≌△CFE是解题的关键．