Question

2．如图，△ABC是等边三角形，边长为10，过A作不穿过三角形的直线l，以r₁为半径的⊙O₁与AB、l、BC相切，以r₂为半径的⊙O₂与AC、l、BC相切．求证：当l变化时，r₁+r₂始终为常数．

Answer 1

分析 先根据切线的性质得到EF的长，根据线段的和差求得EB+FC的值，然后根据三角函数的定义进而解决问题．

解答 解：如图，设切点分别为M、N、E、F、P、Q，连接O₁E，O₁P，O₁B，O₂Q，O₂C，O₂F，
由切线定义，可得AM=AP，AN=AQ，EB=BP，FC=CQ，MN=EF，
∴MN+EF=30，MN=EF，
∴EF=15，
∴EB+FC=15-10=5，
∵∠EBP=120°，
∴∠EBO₁=60°，
∴r₁=$\sqrt{3}$EB，
同理r₂=$\sqrt{3}$CF，
∴r₁+r₂=$\sqrt{3}$（EB+FC）=5$\sqrt{3}$．
∴当l变化时，r₁+r₂始终为常数．

点评 本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．