Question

16．如图，已知抛物线y=ax²+bx+3与x轴交于点A（-3，0），B（1，0），P是其对称轴上的一个动点，连接PB、PC，下列结论：①2a+b＞-$\frac{3}{2}$；②对称轴是直线x=-1；③当y=3时，x=0；④PB+PC的最小值是3$\sqrt{2}$．其中正确的有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 用待定系数法求出a、b，可知①③错误，②④正确．

解答 解：∵抛物线y=ax²+bx+3与x轴交于点A（-3，0），B（1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+3=0}\\{a+b+3=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式为y=-x²-2x+3，
∴2a+b=-4＜-$\frac{3}{2}$，故①错误；
∴对称轴x=-$\frac{b}{2a}$=-1，故②正确；
当y=3时，-x²-2x+3=3，解得x=0或-2，故③错误；
连接AC与对称轴交于点P，此时PB+PC最小，
PB+PC=PA+PC=AC=3$\sqrt{2}$，故④正确．
故选B．

点评 本题考查待定系数法求抛物线解析式、最小值问题等知识，记住对称轴公式，利用对称确定最小值是解决问题的关键，属于中考常考题型．