【题目】已知,如图,在△ADC中,∠ADC=90°,以DC为直径作半圆⊙O,交边AC于点F,点B在CD的延长线上,连接BF,交AD于点E,∠BED=2∠C.
(1)求证:BF是⊙O的切线;
(2)若BF=FC,,求⊙O的半径.
【答案】(1)见解析;(2)⊙O的半径是3.
【解析】
(1)欲证BF是圆O的切线,只需证明OF⊥BF;
(2)根据角与角间的数量关系推知△AEF的等边三角形.所以易求AD=2.则通过解直角△ADC来求直径CD的长度.
(1)证明:连接OF.
∵∠OFB=180°﹣∠B﹣∠BOF=180°﹣∠B﹣2∠C=180°﹣∠B﹣∠BED=90°,
∴OF⊥BF,
∴BF是⊙O的切线;
(2)解:∵BF=FC,
∴∠B=∠FCB,
∵∠BED=2∠C,
∴∠BDE+∠B=3∠C=90°,
∴∠B=∠C=30°,
∴∠AFE=60°,∠BED=60°,
∴△AEF是等边三角形,
则EF=AE=.
∴AD=2.
又∵∠C=30°,
∴CD=6,
∴⊙O的半径是3.
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【题目】如图,某小区有一块长为30m,宽为24m的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,它们的面积之和为480m2,两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道,则人行通道的宽度为多少米?
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【题目】为弘扬中华民族传统文化,某市举办了中小学生“国学经典大赛”,比赛项目为:A.唐诗;B.宋词;C.论语;D.三字经.比赛形式分“单人组”和“双人组”.
(1)小华参加“单人组”,他从中随机抽取一个比赛项目,恰好抽中“论语”的概率是多少?
(2)小明和小红组成一个小组参加“双人组”比赛,比赛规则是:同一小组的两名队员的比赛项目不能相同,且每人只能随机抽取一次.则恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的概率是多少?小明和小红都没有抽到“三字经”的概率是多少?请用画树状图或列表的方法进行说明.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的顶点A、C在坐标轴上,点A的坐标为(4,0).点C的坐标为(0,3).将矩形OABC绕点O逆时针旋转得到矩形OEFG,点B的对应点F恰好落在y轴正半轴上.将矩形OEFG沿y轴向下平移,当点E到达x轴上时,运动停止.设平移的距离为m,两矩形重叠面积为S.
(1)求点E的坐标;
(2)求S与m的函数关系式,并直接写出m的取值范围.
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【题目】已知:正方形绕点顺时针旋转至正方形,连接.
(1)如图,求证:;
(2)如图,延长交于,延长交于,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出如图中的四个角,使写出的每一个角的大小都等于旋转角.
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【题目】张老师在讲解复习《圆》的内容时,用投影仪屏幕展示出如下内容:
如图,内接于,直径的长为2,过点的切线交的延长线于点.
张老师让同学们添加条件后,编制一道题目,并按要求完成下列填空.
(1)在屏幕内容中添加条件,则的长为______.
(2)以下是小明、小聪的对话:
小明:我加的条件是,就可以求出的长
小聪:你这样太简单了,我加的是,连结,就可以证明与全等.
参考上面对话,在屏幕内容中添加条件,编制一道题目(此题目不解答,可以添线、添字母).______.
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【题目】如图,已知抛物线与轴交于、两点,,交轴于点,对称轴是直线.
(1)求抛物线的解析式及点的坐标;
(2)连接,是线段上一点,关于直线的对称点正好落在上,求点的坐标;
(3)动点从点出发,以每秒2个单位长度的速度向点运动,过作轴的垂线交抛物线于点,交线段于点.设运动时间为()秒.若与相似,请求出的值.
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【题目】如图,以G(0,1)为圆心,半径为2的圆与x轴交于A、B两点,与y轴交于C,D两点,点E为⊙O上一动点,CF⊥AE于F,则弦AB的长度为________;点E在运动过程中,线段FG的长度的最小值为________.
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【题目】图①是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景,图②是小明锻炼时上半身由ON位置运动到与地面垂直的OM位置时的示意图.已知AC=0.66米,BD=0.26米,α=20°.(参考数据:sin20°≈0.342,cos20°≈0.940,tan20°≈0.364)
(1)求AB的长(精确到0.01米);
(2)若测得ON=0.8米,试计算小明头顶由N点运动到M点的路径的长度.(结果保留π)
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