Question

【题目】（1）问题探究：如图1所示，有公共顶点A的两个正方形ABCD和正方形AEFG．AE＜AB，连接BE与DG，请判断线段BE与线段DG之间有怎样的数量关系和位置关系．并请说明理由．

（2）理解应用：如图2所示，有公共顶点A的两个正方形ABCD和正方形AEFG，AE＜AB，AB＝10，将正方形AEFG绕点A在平面内任意旋转，当∠ABE＝15°，且点D、E、G三点在同一条直线上时，请直接写出AE的长　 　；

（3）拓展应用：如图3所示，有公共顶点A的两个矩形ABCD和矩形AEFG，AD＝4，AB＝4，AG＝4，AE＝4，将矩形AEFG绕点A在平面内任意旋转，连接BD，DE，点M，N分别是BD，DE的中点，连接MN，当点D、E、G三点在同一条直线上时，请直接写出MN的长　 　

Answer 1

【答案】（1）BE＝DG，BE⊥DG，见解析；（2）5﹣5；（3）6或8

【解析】

（1）由“SAS”可证△GAD≌△EAB，可得BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，由直角三角形的性质可得BE⊥DG；

（2）由“SAS”可证△GAD≌△EAB，可得BE＝DG，∠ADG＝∠ABE＝15°，可得∠DEB＝90°，由直角三角形的性质可求解；

（3）分两种情况讨论，通过证明△AGD∽△AEB，可得，∠DGA＝∠AEB，由勾股定理和三角形中位线定理可求解．

解：（1）BE＝DG，BE⊥DG，

理由如下：如图1：延长BE交AD于N，交DG于H，

∵四边形ABCD是正方形，四边形AEFG是正方形，

∴AG＝AE，AB＝AD，∠GAE＝∠DAB＝90°，

∴∠GAD＝∠EAB，

∴△GAD≌△EAB（SAS），

∴BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，

∵∠ABE+∠ANB＝90°，

∴∠ADG+∠DNH＝90°，

∴∠DHN＝90°，

∴BE⊥DG；

（2）如图，当点G在线段DE上时，连接BD，

∵四边形ABCD是正方形，四边形AEFG是正方形，

∴AG＝AE，AB＝AD＝10，∠GAE＝∠DAB＝90°，∠ADB＝45°＝∠ABD，BD＝AB＝10，GE＝AE，

∴∠GAD＝∠EAB，

∴△GAD≌△EAB（SAS），

∴BE＝DG，∠ADG＝∠ABE＝15°，

∴∠BDE＝45°﹣15°＝30°，∠DBE＝45°+15°＝60°，

∴∠DEB＝90°，

∴BE＝BD＝5＝DG，DE＝BE＝5，

∴GE＝5﹣5，

∴AE＝＝5﹣5，

当点E在线段DG上时，

同理可求AE＝5﹣5，

故答案为：5﹣5；

（3）如图，若点G在线段DE上时，

∵AD＝4，AB＝4，AG＝4，AE＝4，

∴DB＝＝＝8，GE＝＝＝8，∠DAB＝∠GAE＝90°，

∴∠DAG＝∠BAE，

又∵，

∴△AGD∽△AEB，

∴，∠DGA＝∠AEB，

∴BE＝DG，

∵∠DGA＝∠GAE+∠DEA，∠AEB＝∠DEB+∠AED，

∴∠GAE＝∠DEB＝90°，

∵DB2＝DE2+BE2，

∴64×13＝（DG+8）2+3DG2，

∴DG＝12或DG＝﹣16（舍去），

∴BE＝12，

∵点M，N分别是BD，DE的中点，

∴MN＝BE＝6；

如图，当点E在线段DG上时，

同理可求：BE＝16，

∵点M，N分别是BD，DE的中点，

∴MN＝BE＝8，

综上所述：MN为6或8，

故答案为：6或8．