Question

3．某种商品的成本为每件20元，经市场调查发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与x（天）的关系如表．

时间x（天）	1	3	6	10	36	…
日销售量m（件）	94	90	84	76	24	…

未来40天内，前20天每天的价格y₁（元/件）与时间x（天）的函数关系式为y₁=$\frac{1}{4}$x+25（1≤x≤20且x为整数），后20天每天的价格y₂（元/件）与时间x（天）的函数关系式为y₂=-$\frac{1}{2}$+40（21≤x≤40且x为整数）．
（1）求日销售量m（件）与时间x（天）之间的关系式．
（2）请预测本地市场在未来40天中哪一天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐款a（a≤5）元利润给希望工程，公司看过销售记录发现，前20天中每天扣除捐款后的日销售利润随时间x（天）的增大而增大，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）待定系数法求解可得；
（2）分1≤x≤20和21≤x≤40两种情况，根据“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式，结合二次函数的性质可得；
（3）根据前20天的售价由“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式，并配方成顶点式结合二次函数的性质和a≤5可得答案．

解答 解：（1）通过图表可知m与x之间的关系式为一次函数
设一次函数为m=kx+b，把（1.94）和（3.90）代入，解得k=-2，b=96
∴m=-2x+96；

（2）设销售利润为W，
当1≤x≤20时，W=$（-2x+96）（\frac{1}{4}x+25-20）$
=$-\frac{1}{2}{（x-14）^2}+578$
当x=14W有最大值578
当21≤x≤40时   W=$（-2x+96）（-\frac{1}{2}x+40-20）$
=（x-44）²-16
∵当x＜44时，W随x增大而减小，
∴x=21时，W_最大=513，
∴未来40天中第14天日销售利润最大，最大利润578元；

（3）由题意   W=$（-2x+96）（\frac{1}{4}x+25-20-a）$
=$-\frac{1}{2}{[x-2（a+7）]^2}+2{（a-17）^2}$
二次函数开口向下，对称轴是x=2（a+7），
要使日销售利润随时间x的增大而增大，
必须2（a+7）≥20，
∴a≥3，
又a≤5，
∴3≤a≤5．

点评 本题主要考查二次函数的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系列出函数解析式和二次函数的性质是解题的关键．