Question

如图1，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B、C在A、E的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．
（1）求证：BD=DE+CE；
（2）如图2，过点A作AF⊥AE于A，且AF=DE，连接FB、FD、FE、FC．探究∠BFD与∠CFE的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）易证∠ABD=∠CAD，即可证明△ABD≌△CAD，可得BD=AE，AD=CE，即可解题．
（2）连接BE，CD，易证RT△BDE≌RT△EAF，可得EF=BE，∠AEF=∠DBE，即可求得△BEF为等腰直角三角形，再证RT△CDE≌RT△DFA可得CD=DF，∠CDE=∠AFD，即可求得△CDF为等腰直角三角形，即可解题．

解答：证明：（1）∵∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠CAD，
在△ABD和△CAD中，

∠ADB=∠AEC=90° ∠ABD=∠CAE AB=AC

，
∴△ABD≌△CAD（AAS），
∴BD=AE，AD=CE，
∵AE=AD+DE，
∴BD=DE+CE；
（2）连接BE，CD，

在RT△BDE和RT△EAF中，

BD=AE ∠EAF=∠BDE=90° DE=AF

，
∴RT△BDE≌RT△EAF，（SAS）
∴EF=BE，∠AEF=∠DBE，
∵∠BED+∠DBE=90°，
∴∠BED+∠AEF=∠BEF=90°，
∴∠BFE=45°，
在RT△CDE和RT△DFA中，

AD=CE ∠DAF=∠CED=90° AF=DE

，
∴RT△CDE≌RT△DFA（SAS），
∴CD=DF，∠CDE=∠AFD，
∵∠AFD+∠ADF=90°，
∴∠CDE+∠ADF=180°-∠FDC=90°，
∴∠FDC=90°，
∴∠DFC=45°，
∵∠DFC=∠CFE+∠DFE，∠BFE=∠BFD+∠DFE，
∴∠CFE=∠BFD．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证RT△BDE≌RT△EAF和RT△CDE≌RT△DFA是解题的关键．