Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，DA⊥AB，CD=4，AB=6，AD=14，在AD上能否找到一点P，使△PAB和△PCD相似？若能，共有几个符合条件的点P？并求相应PD的长．若不能，说明理由．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：分类讨论

分析：只有相似没有对应，故可分两种情况，即△PAB∽△PDC和△PAB∽CDP，再利用对应边成比例分别计算PD的长即可．

解答：解：∵AB∥CD，DA⊥AB，
∴∠D=∠A，
∴有△PAB∽△PDC和△PAB∽CDP两种情况，
当△PAB∽△PDC时，则

PA

PD

=

AB

CD

，即

PA

PD

=

6

4

=

3

2

，且PA+PD=AB=14，
∴PA=8.4，PD=5.6；
当△PAB∽△CDP时，则

PA

CD

=

AB

PD

，即

PA

4

=

6

PD

，可得PA•PD=24，且PA+PD=14，
可知PA、PD是方程x²-14x+24=0的两根，解得PD=2，PA=12或PD=12，PA=2，
综上可知，满足条件的点P有三个，相应的PD分别为5.6或2或12．

点评：本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等是解题的关键，注意方程思想和分类讨论思想的应用．