Question

在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC上一点，E是BD中点，∠1=∠2，求证：∠ADB=2∠ABD．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：过点A作AF∥BD，交CB的延长线于F，交CE的延长线于G，求出FG=AG，根据平行线求出∠ABG=∠BAG=∠ABD，推出∠GBE=2∠ABD，根据平行线的性质得出∠AGE=∠2=∠1=∠GAE，推出EA=EG，证△GBE≌△ADE，推出∠ADB=∠GBE即可．

解答：
证明：过点A作AF∥BD，交CB的延长线于F，交CE的延长线于G，
∵AF∥BD，
∴

BE

FG

=

CE

CG

=

ED

AG

，
∵E为BD的中点，
∴FG=AG，
∵∠ABC=∠ABF=90°，
∴AG=FG=BG，
∵AF∥BD，
∴∠ABG=∠BAG=∠ABD，
∴∠GBE=2∠ABD，
∵AF∥BD，∠1=∠2，
∴∠AGE=∠2=∠1=∠GAE，
∴EA=EG，
∵∠GAE=∠2=∠1，
∴在△GBE和△ADE中

BE=DE ∠BEG=∠1 EG=AE

∴△GBE≌△ADE，
∴∠ADB=∠GBE=2∠ABD．

点评：本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，综合运用性质进行推理是解此题的关键．