Question

如图为二次函数y=ax²+bx+c的图象，有下列说法：
①ac＞0；②方程ax²+bx+c=0的根x₁=-1，x₂=3；③a+b+c＜0；④当x＞3时，y＞0；⑤2a+b＜1．
则正确的是

 

 （填上所有你认为正确的结论的序号）．

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：数形结合

分析：由抛物线开口方向得a＞0，由抛物线与y轴的交点位置得c＜0，则ac＜0；根据抛物线与x轴的交点坐标得到x=-1或x=3时，y=0，则方程ax²+bx+c=0的根x₁=-1，x₂=3；由于x=1时，y＜0，即a+b+c＜0；观察图象得到x＞3时，y＞0；根据抛物线的对称性得到对称轴为直线x=-

b

2a

=1，则2a+b=0，则2a+b＜1．

解答：解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴ac＜0，所以①错误；
∵抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点坐标为（-1，0）、（3，0），
即x=-1或x=3时，y=0，
∴方程ax²+bx+c=0的根x₁=-1，x₂=3，所以②正确；
∵x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，所以③正确；
∵x＞3时，函数图象在x轴上方，
∴y＞0，所以④正确；
∵抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点坐标为（-1，0）、（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x=-

b

2a

=1，
∴2a+b=0，
∴2a+b＜1，所以⑤正确．
故答案为②③④⑤．

点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=-

b

2a

；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b²-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b²-4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b²-4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．