Question

如图，已知动点C在函数y=

6

x

(x＞0)的图象上，CE⊥x轴于点E，CD⊥y轴于点D，延长EC至点G，延长DC至点F，使DE∥GF．直线GF分别交x轴y轴于点A，B．当S阴影部分的面积=

4

3

S_△BGD的面积时，则S₁+S₂=

 

．

Answer 1

考点：反比例函数系数k的几何意义

专题：

分析：作GH⊥y轴于H．设C（a，

6

a

），CF=m，CG=n，BH=t，则BD=n+t．先由S_阴影部分=

4

3

S_△BGD，得出

1

2

an+

1

2

×

6

a

m=

4

3

×

1

2

a（n+t），即an+

6

a

m=

4

3

a（n+t）①，由△BHG∽△GCF，根据相似三角形对应边成比例得出

t

n

=

a

m

，即an=mt，m=

an

t

②，由tan∠DEO=tan∠GFC，得出

6 a

a

=

n

m

，即an=m•

6

a

③，比较②③，得t=

6

a

，at=6④，再将②④代入①，求出an=12，然后得到S₁=

1

2

mn=

1

2

×

an

t

×n=

1

2

×

an

6 a

×n=

1

2

×

(an)2

6

=

1

2

×

144

6

=12，S₂=

1

2

×6=3，进而求出S₁+S₂=15．

解答：解：如图，作GH⊥y轴于H．
设C（a，

6

a

），CF=m，CG=n，BH=t，则BD=n+t．
∵S_阴影部分=

4

3

S_△BGD，
∴

1

2

an+

1

2

×

6

a

m=

4

3

×

1

2

a（n+t），
即an+

6

a

m=

4

3

a（n+t）①．
∵△BHG∽△GCF，
∴

BH

GC

=

GH

FC

，即

t

n

=

a

m

，
∴an=mt，m=

an

t

②．
∵∠DEO=∠BAO=∠GFC，
∴tan∠DEO=tan∠GFC，
∴

6 a

a

=

n

m

，
∴an=m•

6

a

③，
比较②③，得mt=m•

6

a

，
∴t=

6

a

，at=6④，
将②④代入①，得an+

6

a

×

an

t

=

4

3

an+

4

3

×6，
∴

6n

t

=

1

3

an+8，
∴

6n

6 a

=

1

3

an+8，即an=

1

3

an+8，
∴

2

3

an=8，
∴an=12．
∵S₁=

1

2

mn=

1

2

×

an

t

×n=

1

2

×

an

6 a

×n=

1

2

×

(an)2

6

=

1

2

×

144

6

=12，
S₂=

1

2

×6=3，
∴S₁+S₂=12+3=15．
故答案为15．

点评：本题考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，有一定难度．本题对式子的变形能力有较高要求．