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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为BC边上一动点,连接AD,以AD为直角边且在AD的上方作等腰直角三角形ADF.

(1)如图1,若AB=AC,∠BAC=90°,当点D在线段BC上时(不与点B重合),

证明:△ACF≌△ABD

(2)如图2,当点D在线段BC的延长线上时,其它条件不变,猜想CF与BD的数量关系和位置关系是什么,并说明理由;

(3)如图3,若AB≠AC,∠BAC≠90°,∠BCA=45°,点D在线段BC上运动(不与点B重合),试探究CF与BD位置关系.

【答案】见解析

【解析】(1)根据同角的余角相等求出∠CAF=∠BAD,然后利用“边角边”证明△ACF和△ABD全等,

(2)先求出∠CAF=∠BAD,然后与①的思路相同求解即可;

(3)过点A作AE⊥AC交BC于E,可得△ACE是等直角三角形,根据等腰直角三角形的性质可得AC=AE,∠AED=45°,再根据同角的余角相等求出∠CAF=∠EAD,然后利用“边角边”证明△ACF和价AED全等,根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠AED,然后求出∠BCF=90°,从而得到CF⊥BD.

解:(1)∵∠BAC=90°,△ADF是等腰直角三角形,

∴∠CAF+∠CAD=90°,∠BAD+∠ACD=90°,AD=AF

∴∠CAF=∠BAD,   

在△ACF和△ABD中,

AB=AC,∠CAF=∠,AD=AF,

∴△ACF≌△ABD(SAS)

(2)CF⊥BD,

如图2,∵△ADF是等腰直角三角形,

∴AD=AF,

∵∠CAB=∠DAF=90°,

∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD,

即∠CAF=∠BAD, 

在△ACF和△ABD中,

AB=AC,∠CAF=∠BAD,AD=AF,

∴△ACF≌△ABD(SAS), 

∴CF=BD,∠ACF=∠B,

∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=∠ACB=45°,

∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°,

∴CF⊥BD 

(3)CF⊥BD

如图3,过点A作AE⊥AC交BC于E,

∵∠BCA=45°,

∴△ACE是等腰直角三角形,

∴AC=AE,∠AED=45°,

∵∠CAF+∠CAD=90°,∠EAD+∠CAD=90°,

∴∠CAF=∠EAD,  

在△ACF和△AED中,

AC=AE,∠CAF=∠EAD,AD=AF, 

∴△ACF≌△AED(SAS),  

∴∠ACF=∠AED=45°,

∴∠BCF=∠ACF+∠BCA=45°+45°=90°,

∴CF⊥BD.   

“点睛”此题是三角形综合题,主要考查了全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的性质,根据同角的余角相等求出两边的夹角相等是证明三角形全等的关键,此类题目的特点是各小题求解思路一般都相同.

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AQI指数

质量等级

天数(天)

050

m

51100

44

101150

轻度污染

n

151200

中度污染

4

201300

重度污染

2

300以上

严重污染

2

(1统计表中m= ,n= .扇形统计图中,空气质量等级为的天数占 %;

(2)补全条形统计图,并通过计算估计该市城区全年空气质量等级为的天数共多少天?

(3)据调查,严重污染的2天发生在春节期间,燃放烟花爆竹成为空气污染的一个重要原因,据此,请你提出一条合理化建议.

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选择意向

文学鉴赏

国际象棋

音乐舞蹈

书法

其他

所占百分比

a

20%

b

10%

5%

根据统计图表的信息,解答下列问题:

(1)求本次抽样调查的学生总人数及a、b的值;

(2)将条形统计图补充完整;

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