Question

【题目】如图所示，Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，BC=2，⊙O是△ABC的外接圆，D是CB延长线上一点，且BD=1，连接DA，点P是射线DA上的动点．
（1）求证DA是⊙O的切线；
（2）DP的长度为多少时，∠BPC的度数最大，最大度数是多少？请说明理由．
（3）P运动的过程中，（PB+PC）的值能否达到最小，若能，求出这个最小值，若不能，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图，

连接AO，

∵∠=30°，

∴∠AOB=2∠C=60°

∴△ABO是等边三角形，AB=BD=1，

∴∠ADC=∠DAB= ∠ABO=30°，

∵∠AOC=60°，

∴∠DAO=90°，

∴DA是⊙O的切线

（2）解：如图1，

当点P运动到A处时，

即DP=DA= 时，∠BPC的度数达到最大，为90°．

理由如下：若点P不在A处时，不妨设点P在DA的延长线上的时，

连接BP，与⊙O交于一点，记为点E，

连接CE，

则∠BPC＜∠BEC=∠BAC=90°

（3）解：如图2，

作点C关于射线DA的对称点C′，

则BP+PC=BP+PC′，

当点C′，P，B三点共线时，（BP+PC′）的值达到最小，最小值为BC′．

过点C′作DC的垂线，垂足记为点H，连接DC′，

在Rt△DCP中，∠PDC=30°，

∴△DCC′为等边三角形，

故H为DC的中点，

∴BH=DH﹣DB= CD﹣DB= ﹣1= ，C'H= DH=

在Rt△BC'H中，根据勾股定理得，BC'= = ．

∴（BP+PC）的最小值为 ．

【解析】（1）先判断出△ABO是等边三角形，进而得出∠ADC=30°，即可得出∠DAO=90°即可得出结论；（2）判断出∠BPC最大时的点P的位置；（3）利用对称性确定出PB+PC=BC'利用勾股定理计算即可．