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【题目】定义:圆心在三角形的一边上,与另一边相切,且经过三角形一个顶点(非切点)的圆,称为这个三角形圆心所在边上的“友好圆”.

(1)如图1,△ABC中,∠C=90°,AB=13,BC=5,则AC边上的友好圆的半径为

(2)如图2,已知等腰△ABC,AB=AC=10,BC=12,画草图并求出它所有的友好圆的半径.

【答案】⑴6 ;⑵

【解析】

(1)先依据勾股定理求得AC的长,然后依据切线的性质可知AC为圆的直径,故此可求得BAC的友好圆的半径等于AC的一半;

(2)当OBC上时,连接OD,过点AAEBC.由等腰三角形的性质和勾股定理求得AE=8,依据切线的性质可证明ODAB,接下来证明ODB∽△AEB,由相似三角形的性质可求得圆O的半径;当OAB上且圆OBC相切时,连接OD、过点AAEBC,垂足为E.先证明BOD∽△BAE,由相似三角形的性质可求得圆O的半径,当OAB上且圆OAC相切时,连接OD、过点BBFAC,过点AAEBC,垂足为E.先依据面积法求得BF的长,然后再证明AOD∽△ABF,由相似三角形的性质可求得圆O的半径;

(1)∵∠C=90°,AB=13,BC=5,

AC=

BC是圆的切线,∠BCA=90°,

AC为圆的直径.

AC边上的半随圆的半径为6.

(2)当OBC上时,如图(1)所示:连接OD,过点AAEBC.

AB=AC,AEBC,

BE=EC=6.

AEB中,由勾股定理可知AE==8.

AB与⊙O相切,

ODAB.

∴∠BDO=BEA=90°.

又∵∠OBD=EBA,

∴△ODB∽△AEB.

设⊙O的半径为r.在OB=12-r.

r=

∴△ABCBC边上的友好圆的半径为

OAB上时,如图(2),连接OD、过点AAEBC,垂足为E.

BC与⊙O相切,

ODBC.

又∵AEBC,

ODAE.

∴△BOD∽△BAE.

设⊙O的半径为r,则OB=10-r.

r=

如图(3)所示:连接OD、过点BBFAC,过点AAEBC,垂足为E.

SABC=BCAE=ACBF,

×12×8=×10×BF.

BF=9.6.

AC与⊙O相切,

DOAC.

DOBF.

∴△AOD∽△ABF.

r=

综上所述,ABC的友好圆的半径分为

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①用x的式子表示出口的宽度为_____

yx的函数关系式及x的取值范围.

(2)求停车场的面积y的最大值.

(3)预计停车场造价为100/m2,绿化区造价为50/m2.如果汽车厂投资不得超过540000元建造,当x为整数时,共有几种建造方案?

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