Question

如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（0，α），B（b，α），且α、b满足（a-2）²+|b-4|=0，现同时将点A，B分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，AB．

（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S_{四边形ABCD}
（2）在y轴上是否存在一点M，连接MC，MD，使S_△MCD=S_{四边形ABDC}？若存在这样一点，求出点M的坐标，若不存在，试说明理由．
（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PA，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）

∠BAP+∠DOP

∠APO

的值是否发生变化，并说明理由．

Answer 1

考点：坐标与图形性质,平行线的性质,三角形的面积,坐标与图形变化-平移

专题：

分析：（1）先由非负数性质求出a=2，b=4，再根据平移规律，得出点C，D的坐标，然后根据四边形ABDC的面积=AB×OA即可求解；
（2）存在．设M坐标为（0，m），根据S_△PAB=S_{四边形ABDC}，列出方程求出m的值，即可确定M点坐标；
（3）过P点作PE∥AB交OC与E点，根据平行线的性质得∠BAP+∠DOP=∠APE+∠OPE=∠APO，故比值为1．

解答：解：（1）∵（a-2）²+|b-4|=0，
∴a=2，b=4，
∴A（0，2），B（4，2）．
∵将点A，B分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，
∴C（-1，0），D（3，0）．
∴S_{四边形ABDC}=AB×OA=4×2=8；

 （2）在y轴上存在一点M，使S_△MCD=S_{四边形ABCD}．设M坐标为（0，m）．
∵S_△MCD=S_{四边形ABDC}，
∴

1

2

×4|m|=8，
∴2|m|=8，
解得m=±4．
∴M（0，4）或（0，-4）；

（3）当点P在BD上移动时，

∠BAP+∠DOP

∠APO

=1不变，理由如下：
过点P作PE∥AB交OA于E．
∵CD由AB平移得到，则CD∥AB，
∴PE∥CD，
∴∠BAP=∠APE，∠DOP=∠OPE，
∴∠BAP+∠DOP=∠APE+∠OPE=∠APO，
∴

∠BAP+∠DOP

∠APO

=1．

点评：本题考查了坐标与图形平移的关系，坐标与平行四边形性质的关系，平行线的性质及三角形、平行四边形的面积公式．关键是理解平移规律，作平行线将相关角进行转化．