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【题目】如图1,O为线段AB上一点,AB=6,OC为射线,且∠BOC=60°,动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发,沿射线OC做匀速运动,设运动时间为t秒.

(1)若AO=4,
①当t=1秒时,OP= , SABP=
②当△ABP是直角三角形时,求t的值;
(2)如图2,若点O为AB中点,当AP=AB时,过点A作AQ∥BP,并使得∠QOP=∠B,求AQBP的值.

【答案】
(1)2,3 ,解:②当△ABP是直角三角形时,a、若∠A=90°.∵∠BOC=60°且∠BOC>∠A,∴∠A≠90°,故此种情形不存在;b、若∠B=90°,如答图2所示:∵∠BOC=60°,∴∠BPO=30°,∴OP=2OB=4,又OP=2t,∴t=2;c、若∠APB=90°,如答图3所示:过点P作PD⊥AB于点D,则OD=OP?sin30°=t,PD=OP?sin60°= t,∴AD=OA+OD=4+t,BD=OB﹣OD=2﹣t.在Rt△ABP中,由勾股定理得:PA2+PB2=AB2∴(AD2+PD2)+(BD2+PD2)=AB2,即[(4+t)2+( t)2]+[(2﹣t)2+( t)2]=62,解方程得:t= 或t= (负值舍去),∴t= .综上所述,当△ABP是直角三角形时,t=2或t=
(2)解:如图中,作OE∥AP,交BP于点E.

∵AP=AB,

∴∠APB=∠B,

∴∠OEB=∠APB=∠B,

∵AQ∥BP,

∴∠QAB+∠B=180°.

又∵∠OEP+∠OEB=180°,

∴∠OEP=∠QAB,

又∵∠AOC=∠2+∠B=∠1+∠QOP,

∵∠B=∠QOP,

∴∠AOQ=∠OPE,

∴△QAO∽△OEP,

= ,即AQEP=EOAO,

由三角形中位线定理得OE=3,

∴AQEP=9,

∴AQBP=AQ2EP=2AQEP=18.


【解析】解:(1)①当t=1秒时,OP=2t=2×1=2.

如答图1,过点P作PD⊥AB于点D.

在Rt△POD中,PD=OPsin60°=2× =

∴SABP= ABPD= ×(4+2)× =3

所以答案是2,3

【考点精析】关于本题考查的等腰三角形的性质和勾股定理的概念,需要了解等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角);直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2才能得出正确答案.

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