Question

【题目】已知抛物线的图象经过点、，顶点为，与轴交于点．

求抛物线的解析式和顶点的坐标；

如图，为线段上一点，过点作轴平行线，交抛物线于点，当的面积最大时，求点的坐标；

如图，若点是直线上的动点，点、、所构成的三角形与相似，请直接写出所有点的坐标；

如图，过作轴于点，是轴上一动点，是线段上一点，若，则的最大值为________，最小值为________．

Answer 1

【答案】(1)抛物线解析式为y=x2+2x+3，顶点坐标E(1,4).（2）P(,).（3）Q点坐标为(3,0),(3,6), (,)，(,).（4）m的最大值为5,最小值为54.

【解析】

（1）利用待定系数法，把A、B两点坐标代入抛物线的解析式，转化为解方程组即可．
（2）设P（a，3-a），则D（a，-a2+2a+3），根据S△BDC=S△PDC+S△PDB，构建二次函数，利用二次函数的性质解决即可．

（3）根据相似三角形性质和判定，分类讨论.
（4）首先过C作CH⊥EF于H点，则CH=EH=1，然后分别从点M在EF左侧与M在EF右侧时去分析求解即可求得答案．

(1)∵抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A(1,0)、B(3,0)，

∴,

解得，

∴抛物线解析式为y=x2+2x+3，

顶点坐标E(1,4).

(2)如图1中，

∵B(3,0),C(0,3)

∴直线BC的解析式为y=x+3，

设P(a,3a),则D(a,a2+2a+3)，

∴PD=(a2+2a+3)(3a)=a2+3a，

∴S△BDC=S△PDC+S△PDB=

PDa+PD(3a)=PD3，

=(a2+3a)=(a)2+，

∵<0，

∴当a=时,△BDC的面积最大,此时P(,).

(3)如图2中，

∵C(0,3),E(1,4),B(3,0)，

∴直线EC的解析式为y=x+3，直线BC的解析式为y=x+3，

∵1×(1)=1，

∴EC⊥BC，

∴∠ECB=90，

∴当或时，点Q、C、E所构成的三角形与△AOC相似，

即=或=，

∴CQ=或3，

∴Q1(3,0),Q2(,)，

根据对称性可知当Q3(,),Q4(3,6)时也满足条件，

综上所述,Q点坐标为(3,0),(3,6), (,)，(,).

(4)如图3中，过C作CH⊥EF于H点，则CH=EH=1，

当M在EF左侧时，

∵∠MNC=90，

则△MNF∽△NCH，

∴，

设FN=n，则NH=3n，

∴，

即n23nm+1=0，

关于n的方程有解,△=(3)24(m+1)0，

得m54，

当M在EF右侧时,Rt△CHE中,CH=EH=1,∠CEH=45,即∠CEF=45，

作EM⊥CE交x轴于点M,则∠FEM=45，

∵FM=EF=4，

∴OM=5，

即N为点E时，OM=5，此时m的值最大，

∴m5，

∴m的最大值为5,最小值为54，