Question

15．如图，在直角△ABC的两直角边AC、BC上有两点M、N，AN=CM，AC=BM，AM与BN相交于P，则∠BPM=45°．

Answer 1

分析 过点M作ME∥AN，使ME=AN，连NE，BE，得出四边形AMEN为平行四边形，再通过求证△BEM≌△AMC，可得出△BEN为等腰直角三角形，进而再利用平行线的性质可得出结论．

解答 证明：如图所示：过M作ME∥AN，使ME=AN，连接NE、BE，
则四边形AMEN为平行四边形，
∴NE=AM，∠1=∠2，ME⊥BC，
∴∠BME=90°，
∵AN=CM，
∴ME=CM，
在△BEM和△AMC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BM=AC}&{\;}\\{∠BME=∠ACB=90°}&{\;}\\{ME=CM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BEM≌△AMC（SAS），
∴BE=AM，∠4=∠3，
∴BE=NE，
∵∠1+∠3=90°，
∴∠2+∠4=90°，
∴∠BEN=90°，
∴△BEN为等腰直角三角形，
∴∠BNE=45°，
∵AM∥NE，
∴∠BPM=∠BNE=45°．

点评 本题主要考查平行四边形的判定及性质、等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定及性质；通过作辅助线构造三角形全等是解决问题的关键．