Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，

AC

=

CF

，CD⊥AB于D，且交⊙O于G，AF交CD于E．
（1）求证：AE=CE；
（2）若AD=2，BD=8，求AF的长．

Answer 1

考点：圆周角定理,勾股定理,垂径定理

专题：

分析：（1）如图，作辅助线；证明

AC

=

AG

，借助

AC

=

CF

，得到

AG

=

CF

，即可解决问题．
（2）如图，作辅助线；根据勾股定理求出CD；进而求出AE；证明△ADE∽△AFB，列出比例式即可解决问题．

解答：（1）证明：连接AG，CF．
∵AB为直径，且AB⊥CG，
∴

AC

=

AG

，
又∵

AC

=

CF

，
∴

AG

=

CF

，
∴∠ACG=∠CAF，
∴AE=CE．
（2）连接BF；
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，∠AFB=90°；而CD⊥AB，
∴CD²=AD•BD=16，
∴CD=4；设AE=CE=λ，
∴DE=4-λ，由勾股定理得：
λ²=2²+（4-λ）²，
解得：λ=2.5，即AE=2.5．
∵∠FAB=∠EAD，∠EDA=∠BFA，
∴△ADE∽△AFB，
∴AE：AB=AD：AF，而AB=10，AD=2，AE=2.5，
∴AF=8．

点评：本题主要考查了垂径定理，圆周角定理．根据圆周角得出相关的角相等是本题的解题关键．