Question

16．在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E，F是对角线ACS行的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，当其中一个动点到达后就停止运动．
（1）若G，H分别是AB，DC中点，求证：四边形EGFH始终是平行四边形．
（2）在（1）条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形．
（3）若G，H分别是折线A-B-C，C-D-A上的动点，与E，F相同的速度同时出发，当t为何值时，四边形EGFH为菱形．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B=90°，由勾股定理求出AC=5，由SAS证明△AFG≌△CEH，得出GF=HE，同理得出GE=HF，即可得出结论；
（2）先证明四边形BCHG是平行四边形，得出GH=BC=4，当对角线EF=GH=4时，平行四边形EGFH是矩形，分两种情况：①AE=CF=t，得出EF=5-2t=4，解方程即可；②AE=CF=t，得出EF=5-2（5-t）=4，解方程即可；
（3）连接AG、CH，由菱形的性质得出GH⊥EF，OG=OH，OE=OF，得出OA=OC，AG=AH，证出四边形AGCH是菱形，得出AG=CG，设AG=CG=x，则BG=4-x，由勾股定理得出方程，解方程求出BG，得出AB+BG=$\frac{31}{8}$，即可得出t的值．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B=90°，
∴AC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，∠GAF=∠HCE，
∵G，H分别是AB，DC中点，
∴AG=BG，CH=DH，
∴AG=CH，
∵AE=CF，
∴AF=CE，
在△AFG和△CEH中，$\left\{\begin{array}{l}{AG=CH}&{\;}\\{∠GAF=∠HCE}&{\;}\\{AF=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AFG≌△CEH（SAS），
∴GF=HE，
同理：GE=HF，
∴四边形EGFH是平行四边形．
（2）解：由（1）得：BG=CH，BG∥CH，
∴四边形BCHG是平行四边形，
∴GH=BC=4，当EF=GH=4时，平行四边形EGFH是矩形，分两种情况：
①AE=CF=t，EF=5-2t=4，
解得：t=0.5；
②AE=CF=t，EF=5-2（5-t）=4，
解得：t=4.5；
综上所述：当t为0.5s或4.5s时，四边形EGFH为矩形．
（3）解：连接AG、CH，如图所示：
∵四边形EGFH为菱形，
∴GH⊥EF，OG=OH，OE=OF，
∴OA=OC，AG=AH，
∴四边形AGCH是菱形，
∴AG=CG，
设AG=CG=x，则BG=4-x，
由勾股定理得：AB²+BG²=AG²，
即3²+（4-x）²=x²，
解得：x=$\frac{25}{8}$，
∴BG=4-$\frac{25}{8}$=$\frac{7}{8}$，
∴AB+BG=3+$\frac{7}{8}$=$\frac{31}{8}$，
即t为$\frac{31}{8}$s时，四边形EGFH为菱形．

点评 本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（3）中，需要通过作辅助线证明四边形是菱形，运用勾股定理得出方程才能得出结果．