【题目】在矩形中,
为
边上一点
,
.将
沿
翻折得到
,
的延长线交边
于点
,过点
作
交
于点
.连接
,分别交
,
于点
,
.现有以下结论:①连接
,则
垂直平分
;②四边形
是菱形;③
;④若
,则
.其中正确的结论是________(填写所有正确结论的序号).
【答案】①②③
【解析】
①连接,根据翻折的性质,结合等腰三角形三线合一的性质即可得出结论;
②DP∥AB,所以∠DPA=∠PAM,由题意可知:∠DPA=∠APM,所以∠PAM=∠APM,由于∠APB-∠PAM=∠APB-∠APM,即∠ABP=∠MPB,从而可知PM=MB=AM,又易证四边形PMBN是平行四边形,所以四边形PMBN是菱形;
③过点P作PG⊥AB于点G,易知四边形DPGA,四边形PCBG是矩形,所以AD=PG,DP=AG,GB=PC,易证△APG∽△PBG,所以PG2=AGGB,即AD2=DPPC;
④由于,可设DP=1,AD=2,由(1)可知:AG=DP=1,PG=AD=2,从而求出GB=PC=4,AB=AG+GB=5,由于CP∥AB,从而可证△PCF∽△BAF,△PCE∽△MAE,从而可得
,
,从而可求出EF=AF-AE=
AC-
AC=
AC,从而可得
.
①根据翻折的性质可得,AD=A,∠DAP=∠
AP,
连接,根据等腰三角形“三线合一”的性质得,
垂直平分
.
②∵DP∥AB,
∴∠DPA=∠PAM,
由题意可知:∠DPA=∠APM,
∴∠PAM=∠APM,
∵∠APB-∠PAM=∠APB-∠APM,
即∠ABP=∠MPB
∴AM=PM,PM=MB,
∴PM=MB,
又易证四边形PMBN是平行四边形,
∴四边形PMBN是菱形;
③过点P作PG⊥AB于点G,
∴易知四边形DPGA,四边形PCBG是矩形,
∴AD=PG,DP=AG,GB=PC
∵∠APB=90°,
∴∠APG+∠GPB=∠GPB+∠PBG=90°,
∴∠APG=∠PBG,
∴△APG∽△PBG,
∴,
∴PG2=AGGB,
即AD2=DPPC;
④由于,
可设DP=1,AD=2,
由(1)可知:AG=DP=1,PG=AD=2,
∵PG2=AGGB,
∴4=1GB,
∴GB=PC=4,
AB=AG+GB=5,
∵CP∥AB,
∴△PCF∽△BAF,
∴,
∴,
又易证:△PCE∽△MAE,AM=AB=
,
∴
∴,
∴EF=AF-AE=AC-
AC=
AC,
∴.
故答案为:①②③.
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【题目】如图,已知抛物线经过
,
两点,与x轴的另一个交点为C,顶点为D,连结CD.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)点P为该抛物线上一动点(与点B、C不重合),设点P的横坐标为t.
①当点P在直线BC的下方运动时,求的面积的最大值;
②该抛物线上是否存在点P,使得若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知顶点为的抛物线过点
,交
轴于
两点,交
轴于点
,点
是抛物线上一动点.
求抛物线的解析式;
当点
在直线
上方时,求
面积的最大值,并求出此时点
的坐标;
过点
作直线
的垂线,垂足为
,若将
沿
翻折点
的对应点为点
.是否存在点
,使
恰好落在
轴上?若存在,求出点
的坐标:若不存在,说明理由.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,点P在BC上.
(1)求作:△PCD,使点D在AC上,且△PCD∽△ABP;(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)的条件下,若∠APC=2∠ABC,求证:PD//AB.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】为了落实党的“精准扶贫”政策,A、B两城决定向C,D两乡运送肥料以支持农村生产,已知A、B两城共有肥料500吨,其中A城肥料比B城少100吨,从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为20元/吨和25元/吨:从B城往C,D两乡运肥料的费用分别为15元/吨和24元/吨,现C乡需要肥料240吨,D乡需要肥料260吨.
(1)A城和B城各有多少吨肥料?
(2)设从A城运往C乡肥料x吨,总运费为y元,求y与x的函数关系式.
(3)怎样调运才能使总运费最少?并求最少运费.
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【题目】如图,抛物线与
轴交于点
和点
,与
轴交于点
,点
的坐标为
,点
的坐标为
.有一宽度为1,长度足够长的矩形(阴影部分)沿
轴方向平移,与
轴平行的一组对边交抛物线于点
和点
,交直线
于点
和点
,交
轴于点
和点
.
(1)求抛物线的解析式及点的坐标;
(2)当点和
都在线段
上时,连接
,如果
,求点
的坐标;
(3)在矩形的平移过程中,是否存在以点,
,
,
为顶点的四边形是平行四边形,若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,,
,
三点在
上,直径
平分
,过点
作
交弦
于点
,在
的延长线上取一点
,使得
.
(1)求证:是
的切线;
(2)连接AF交DE于点M,若AD=4,DE=5,求DM的长.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,某中心广场灯柱AB被钢缆CD固定,已知CB=5米,且sin∠DCB=.
(1)求钢缆CD的长度。
(2)若AD=2米,灯的顶端E距离A处1.6米,且∠EAB=120°,则灯的顶端E距离地面多少米?
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】2019年3月25日是第二十四个“全国中小学生安全教育日”,某校为加强学生的安全意识,以“防火、防溺水、防食物中毒、防校园欺凌”为主题组织了全校学生参加安全知识竞赛,从中抽取了部分学生成绩(得分为正整数,满分为100分)进行统计,绘制了两幅不完整的统计图,如图所示.
(1)学校共抽取了______名学生,_____,n=______.
(2)补全频数直方图;
(3)该校共有2000名学生。若成绩在70分以下(含70分)的学生安全意识不强,有待进一步加强安全教育,则该校安全意识不强的学生约有多少人?
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