Question

【题目】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=（x+k）（x﹣3）交x轴于点A、B（A在B的右侧），交y轴于点C，横坐标为2k的点P在抛物线C1上，连结PA、PC、AC，设△ACP的面积为S．

（1）求直线AC对应的函数表达式（用含k的式子表示）．

（2）当点P在直线AC的下方时，求S取得最大值时抛物线C1所对应的函数表达式．

（3）当k取不同的值时，直线AC、抛物线C1和点P、点B都随k的变化而变化，但点P始终在不变的抛物线（虚线）C2：y=ax2+bx上，求抛物线C2所对应的函数表达式．

（4）如图②，当点P在直线AC的下方时，过点P作x轴的平行线交C2于点F，过点F作y轴的平行线交C1于点E，当△PEF与△ACO的相似比为时，直接写出k的值．

Answer 1

【答案】（1）y=kx﹣3k；（2）C1：y=x2﹣﹣；（3）C2：y=x2﹣x；（4）k的值为或．

【解析】分析：（1）先求点A和C的坐标，利用待定系数法求直线AC的解析式；
（2）如图①，作辅助线，构建铅直线PM，利用S△PAC=S△PQC+S△PQA表示S的关系式，设表示PQ的长，代入可得S与k的关系式，利用顶点式求最值，将k值代入C1的解析式即可；
（3）任意取两个k的值代入到点P的坐标中，如：当k=1时,此时P(2,3),当k=2时,P(4,6)，代入抛物线C2所对应的函数表达式中可得结论；
（4）如图②，由△ACO和△PEF都是直角三角形,相似比为,所以存在两种情况：
①当△PEF∽△CAO时, ②当时，列比例式，根据点P的纵坐标的绝对值等于点E的纵坐标的绝对值与EF的和列等式可得k的值，并根据题意进行取舍．

详解：(1)在y=(x+k)(x3)中，

令y=0,可得A(3,0),B(k,0)，

令x=0,可得C(0,3k)，

设直线AC对应的函数表达式为：y=mx+n，

将A(3,0),C(0,3k)代入得：

解得：

∴直线AC对应的函数表达式为：y=kx3k；

(2)如图①，过点P作y轴的平行线交AC于点Q，交x轴于点M，

过C作CN⊥PM于N,

当x=2k时,

∵点P、Q分别在抛物线C1、直线AC上，

∴

∴

∴S△PAC=S△PQC+S△PQA

∴当时,△PAC面积的最大值是

此时,C1:

(3)∵点P在抛物线C1上，

∴P(2k,6k29k)，

当k=1时,此时P(2,3),当k=2时,P(4,6)，

把(2,3)和(4,6)代入抛物线(虚线)C2:上得：

解得： ，

∴抛物线C2所对应的函数表达式为：

(4)如图②,由题意得：△ACO和△PEF都是直角三角形,且，

∵点P在直线AC的下方,横坐标为2k的点P在抛物线C1上，

∴P(2k,6k29k),且，

∵A(3,0),C(0,3k)，

∴OA=3，OC=3k，

∴当△PEF与△ACO的相似比为时，存在两种情况：

①当△PEF∽△CAO时,

∴

∴PF=k，EF=1，

∴

∵EF=1，

∴

(舍)，

②当△PEF∽△ACO时,

∴

∴PF=1，EF=k，

∴

∴

综上所述,k的值为或 .