Question

1．已知，△ABC和△CDE都是等边三角形．
（1）如图1，若点A、C、E在同一条直线上时，我们可以得到结论：线段AD与BE的数量关系为：AD=BE，线段AD与BE所得的锐角度数为60°；
（2）如图2，当点A、C、E不在一条直线上时，请证明（1）中的结论仍然成立．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得到BC=AC，DC=CE，∠ACB=∠DCE=60°，推出∠ACD=∠BCE，证得△ACD≌△BCE，根据全等三角形的性质得到AD=BE，∠ADC=∠BEC，推出D，E，C，四点共圆，根据圆周角定理结论得到结论；
（2）（1）中的结论仍然成立，方法同（1）．

解答 解：（1）AD=BE，
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC=AC，DC=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD与△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，
∴D，E，C，四点共圆，
∴∠DFE=∠DCE=60°，
∴线段AD与BE所得的锐角度数为60°；
故答案为：AD=BE，60°．

（2）（1）中的结论仍然成立，
理由：∵△ABC和△CDE都是等边三角形．
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD与△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，
∴D，E，C，四点共圆，
∴∠DFE=∠DCE=60°，
∴线段AD与BE所得的锐角度数为60°．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质．等边三角形的性质，四点共圆，圆周角定理，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．