Question

在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=120°，取一把含30°角三角板，把30°角的顶点放在边BC的中点P处，三角板绕点P旋转．

（1）如图1，当三角板的两边分别交边AB、AC于点E、F，连接EF，请说明△BPE∽△CFP；
（2）操作：将三角板绕点P旋转到图2情形时，三角板的两边分别交CA的延长线、边AB于点F、E，连接EF．
①探究1：△BPE与△CFP相似吗？请说明理由；
②探究2：△BPE与△PFE相似吗？请说明理由；
（3）设AE=x，EF=y，求y与x的函数分析式，并写出自变x的取值范围．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：综合题

分析：（1）已知∠B=∠C，要证△BPE∽△CFP，只需证到∠BEP=∠FPC即可．
（2）借鉴（1）中的解题经验即可证到△BPE∽△CFP，从而可得

BE

CP

=

PE

FP

，由BP=CP可得

BE

BP

=

PE

FP

，再由∠B=∠EPF=30°就可得到△BPE∽△PFE．
（3）连接AP，过点P作PD⊥AB于D，由△BPE∽△PFE（已证）可得BE•FE=PE²，其中BE=8-x，FE=y，只需在Rt△PDE中运用勾股定理用x的代数式表示出PE²，就可解决问题．

解答：解：（1）证明：如图1，

∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°．
∵∠EPC=∠B+∠BEP=∠EPF+∠FPC，∠B=∠EPF=30°，
∴∠BEP=∠FPC，
∴△BPE∽△CFP．

（2）①△BPE∽△CFP．
证明：如图2，

∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°．
∵∠EPC=∠B+∠BEP=∠EPF+∠FPC，∠B=∠EPF=30°，
∴∠BEP=∠FPC，
∴△BPE∽△CFP．
②△BPE∽△PFE．
证明：∵△BPE∽△CFP，
∴

BE

CP

=

PE

FP

．
∵BP=CP，
∴

BE

BP

=

PE

FP

．
∵∠B=∠EPF=30°，
∴△BPE∽△PFE．

（3）连接AP，过点P作PD⊥AB于D，如图3，

∵AB=AC，P为BC中点，
∴AP⊥BC．
∵∠B=30°，
∴AP=

1

2

AB=4，
∴BP=

AB2-AP2

=4

3

．
∴PD=

1

2

BP=2

3

，
∴BD=

BP2-PD2

=6，
∴DE=|BD-BE|=|6-（8-x）|=|x-2|，
∴PE²=PD²+DE²=（2

3

）²+（x-2）²=x²-4x+16．
∵△BPE∽△PFE（已证），
∴

BE

PE

=

PE

FE

，
∴BE•FE=PE²，
∴（8-x）•y=x²-4x+16
∴y=

x2-4x+16

8-x

（0≤x＜8）．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，由△BPE∽△PFE得到BE•FE=PE²是解决第（3）小题的关键．