Question

3．如图，在平面直角坐标系中，已知A（7a，0），B（0，-7a），点C为x轴负半轴上一点，AD⊥AB，∠1=∠2．
（1）求∠ABC+∠D的度数；
（2）如图①，若点C的坐标为（-3a，0），求点D的坐标（结果用含a的式子表示）；
（3）如图②，在（2）的条件下，若a=1，过点D作DE⊥y轴于点E，DF⊥x轴于点F，点M为线段DF上一点，若第一象限内存在点N（n，2n-3），使△EMN为等腰直角三角形，请直接写出符合条件的N点坐标，并选取一种情况计算说明．

Answer 1

分析 （1）如图1中，设CD与y轴交于点E．根据四边形内角和定理，只要证明∠BCD+∠BAD=180°即可解决问题．
（2）如图1中，求出直线AB、BC的解析式，再求出直线AD、CD的解析式，利用方程组求交点D坐标．
（3）分四种情形，利用全等三角形的性质，列出方程分别求解即可．

解答 解：（1）如图1中，设CD与y轴交于点E．

∵AD⊥AB，
∴∠BAD=90°，
∵∠1+∠BCO=90°，∠1=∠2，
∴∠BCO+∠2=90°，
∴∠BCD=90°，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
∴∠ABC+∠D=360°-（∠BCD+∠BAD）=180°．

（2）如图1中，
∵A（7a，-7a），B（0，-7a），
∴直线AB的解析式为y=x-7a，
∵AD⊥AB，
∴直线AD的解析式为y=-x+7a，
∵C（-3a，0），B（0，-7a），
∴直线BC的解析式为y=-$\frac{7}{3}$x-7a，
∵CD⊥BC，
∴直线CD的解析式为y=$\frac{3}{7}$x+$\frac{9}{7}$a，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{7}x+\frac{9}{7}a}\\{y=-x+7a}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4a}\\{y=3a}\end{array}\right.$，
∴点D的坐标为（4a，3a）．

（3）①如图2中，作NG⊥OE于G，GN的延长线交DF于H．

∵△NEM是等腰直角三角形，
∴EN=MN，∠ENM=90°，
由△ENG≌△NMH，得EG=NH，
∵N（n，2n-3），D（4，3），
∴HN=EG=3-（2n-3）=6-2n
∵GH=4，
∴n+6-2n=4，
∴n=2，
∴N（2，1）．

②如图3中，作NG⊥OE于G，MH⊥OE于H．

由△ENG≌△MEH，得GE=HM=4，
∴OG=7=2n-3，
∴n=5，
∴N（5，7）．
③如图4中，作NG⊥OE于G，GN的延长线交DF于H．

由△ENG≌△NMH得EG=NH=4-n，
∴3+4-n=2n-3，
∴n=$\frac{10}{3}$，
∴N（$\frac{10}{3}$，$\frac{11}{3}$）．

④如图5中，作MG⊥OE于G，NH⊥GM于H．

由△EMG≌△MNH得EG=MH=n-4，MG=NH=4
∴GH=n，
∴3-（n-4）+4=2n-3，
∴n=$\frac{14}{3}$，
∴N（$\frac{14}{3}$，$\frac{19}{3}$）．
综上所述，满足条件的点N的坐标为（2，1）或（5，7）或（$\frac{10}{3}$，$\frac{11}{3}$）或（$\frac{14}{3}$，$\frac{19}{3}$）．

点评 本题考查三角形综合题、四边形内角和定理、一次函数的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会构建一次函数，利用方程组解决交点问题，学会解题常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．