Question

在不等边△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设I为三角形ABC的内心，M是AB、AC两边上的中线的交点，若MI∥BC，则b+c与2a的大小关系是

 

．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：

分析：如图，首先作出辅助线，利用相似三角形的判定及其性质求出三角形的高与内切圆的半径之间的数量关系，借助三角形的面积公式问题即可解决．

解答：解：如图，
连接AM并延长交BC于点D，
连接AI并延长交BC于点F；
过点I作IE⊥BC，过点A作AH⊥BC，
垂足分别为E、H；
则IE为内切⊙I的半径，设为r；
由题意得：点M为△ABC的重心，
∴

DM

DA

=

1

3

；
∵MI∥BC，
∴△ADF∽△AMI，
∴

AD

DM

=

AF

IF

；
又∵IE⊥BC，AH⊥BC，
∴IE∥AH，
∴△AFH∽△IFE，
∴

AF

IF

=

AH

IE

，
∴

AH

IE

=

AD

DM

=

3

1

，
∴AH=3IE=3r；
∵S△ABC=

1

2

(AB+BC+AC)•r，
S△ABC=

1

2

BC•AH，
∴

1

2

(AB+AC+BC)r=

1

2

BC•AH，
即（AB+AC+BC）r=BC•3r，
∴AB+AC+BC=3BC，
AB+AC=2BC，
即b+c=2a．
∴该题答案是b+c=2a．

点评：该命题考查了三角形的内切圆、内切圆的圆心性质及其应用问题；解题的关键是作出辅助线，求出三角形的高与内切圆的半径之间的数量关系；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．