Question

20．已知关于x的一元二次方程（a-1）x²-2x+1=0有两个不相等的实数根，
（1）求a的取值范围；
（2）在（1）中选择一个合适的a，求代数式（1-$\frac{1}{a-1}$）$÷\frac{{a}^{2}-4a+4}{{a}^{2}-1}$ 的值．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a-1≠0且△=（-2）²-4（a-1）＞0，然后解两个不等式得到它们的公共部分即可；
（2）首先化简分式，进一步选择一个合适的a的值，代入求得答案即可．

解答 解：（1）∵一元二次方程（a-1）x²-2x+1=0有两个不相等的实数根，
∴a-1≠0且△=（-2）²-4（a-1）＞0，
解得a＜2且a≠1．
（2）原式=$\frac{a-2}{a-1}$•$\frac{（a+1）（a-1）}{（a-2）^{2}}$
=$\frac{a+1}{a-2}$，
当a=$\frac{1}{2}$时，
原式=-1．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义与分式的化简求值．