Question

8．如图，一个三角形的纸片ABC，其中∠A=∠C．
（1）把△ABC纸片按（如图1）所示折叠，使点A落在BC边上的点F处，DE是折痕，说明BC∥DF；
（2）把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED内时 （如图2），探索∠C与∠1+∠2之间的大小关系，并说明理由；
（3）当点A落在四边形BCED外时（如图3），∠C与∠1、∠2的关系是2∠C=∠2-∠1．（直接写出结论）

Answer 1

分析 （1）根据折叠的性质得∠DFE=∠A，由已知得∠A=∠C，于是得到∠DFE=∠C，即可得到结论；
（2）先根据四边形的内角和等于360°得出∠A+∠A′=∠1+∠2，再由图形翻折变换的性质即可得出结论；
（3）∠A′ED=∠AED（设为α），∠A′DE=∠ADE（设为β），于是得到∠2+2α=180°，∠1=β-∠BDE=β-（∠A+α），推出∠2-∠1=180°-（α+β）+∠A，根据三角形的内角和得到∠A=180°-（α+β），证得∠2-∠1=2∠A，于是得到结论．

解答 解：（1）根据折叠的性质得：∠DFE=∠A，
∵∠A=∠C，
∴∠DFE=∠C，
∴BC∥DF；

（2）2∠C=∠1+∠2，
理由：∵四边形的内角和等于360°，
∴∠A+∠A′+∠ADA′+∠AEA′=360°．
又∵∠1+∠ADA′+∠2+∠AEA′=360°，
∴∠A+∠A′=∠1+∠2．
又∵∠A=∠A′，
∴2∠A=∠1+∠2，
∵∠A=∠C，
∴2∠C=∠1+∠2；

（3）∠2-∠1=2∠C，
证明如下：由题意得：∠A′ED=∠AED（设为α），∠A′DE=∠ADE（设为β）；
∵∠2+2α=180°，∠1=β-∠BDE
=β-（∠A+α），
∴∠2-∠1
=180°-（α+β）+∠A；
∵∠A=180°-（α+β），
∴∠2-∠1=2∠A，
∵∠A=∠C，
∴2∠C=∠2-∠1．
故答案为：2∠C=∠2-∠1．

点评 本题考查了翻折变换的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和等于180°，综合题，但难度不大，熟记性质准确识图是解题的关键．