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【题目】定义:有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”.

(1)已知:如图1,四边形是“等对角四边形”, .求 的度数.

(2)在探究“等对角四边形”性质时:

① 小红画了一个“等对角四边形”(如图2),其中 ,此时她发现成立.请你证明此结论.

② 由此小红猜想:“对于任意‘等对角四边形’,当一组邻边相等时,另一组邻边也相等”.你认为她的猜想正确吗?若正确,请证明;若不正确,请举出反例.

(3)已知:在“等对角四边形”中, AB=AD=4,.求∠D和对角线的长.

【答案】(1)130°;(2)①证明见解析;②不正确;(3)∠D=90°,AC=8

【解析】试题分析:1)根据四边形ABCD等对角四边形得出∠D=B=80°,根据多边形内角和定理求出∠C即可;

2①连接BD,根据等边对等角得出∠ABD=ADB,求出∠CBD=CDB,根据等腰三角形的判定得出即可;

②不正确.举一个反例即可.

3)分两种情况:①当∠ADC=ABC=90°时,连接AC易证⊿ABC≌⊿ADC得出∠BCA=30°,利用30°所对的直角边等于斜边的一半,从而求出AC

②当∠BCD=DAB=120°时,不成立

试题解析:1∵等对角四边形ABCD中,∠A≠CB80°

∴∠D=B80°

∵∠A70°

2①如图,连接BD

ABAD

CBCD

②不正确,反例如图,∠AC90°ABAD,但CB≠CD

(3)分两种情况:

①当∠ADC=ABC=90°时,连接AC

AD=AB

RtADCRtABC

∴∠ACD=ACB=30°

RtABC中,∠ACB=30°AB=4

AC=2AB=2×4=8;

②当∠BCD=DAB=120°时,不成立.

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请从A,B两题中任选一题作答.

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