【题目】如图,正方形ABCD中,E,F分别为BC,CD上的点,且AE⊥BF,垂足为G.
(1)求证:AE=BF;(2)若BE=,AG=2,求正方形的边长.
【答案】(1)见解析;(2)正方形的边长为.
【解析】
(1)由正方形的性质得出AB=BC,∠ABC=∠C=90°,∠BAE+∠AEB=90°,由AE⊥BF,得出∠CBF+∠AEB=90°,推出∠BAE=∠CBF,由ASA证得△ABE≌△BCF即可得出结论;
(2)证出∠BGE=∠ABE=90°,∠BEG=∠AEB,得出△BGE∽△ABE,得出BE2=EGAE,设EG=x,则AE=AG+EG=2+x,代入求出x,求得AE=3,由勾股定理即可得出结果.
(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABC=∠C=90°,
∴∠BAE+∠AEB=90°,
∵AE⊥BF,垂足为G,
∴∠CBF+∠AEB=90°,
∴∠BAE=∠CBF,
在△ABE与△BCF中,
,
∴△ABE≌△BCF(ASA),
∴AE=BF;
(2)解:∵四边形ABCD为正方形,
∴∠ABC=90°,
∵AE⊥BF,
∴∠BGE=∠ABE=90°,
∵∠BEG=∠AEB,
∴△BGE∽△ABE,
∴=,
即:BE2=EGAE,
设EG=x,则AE=AG+EG=2+x,
∴()2=x(2+x),
解得:x1=1,x2=﹣3(不合题意舍去),
∴AE=3,
∴AB===.
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【题目】如图,点B在AE上,点D在AC上,AB=AD.请你添加一个适当的条件,使△ABC≌△ADE(只能添加一个).
(1)你添加的条件是 .
(2)添加条件后,请说明△ABC≌△ADE的理由.
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【题目】(2011山东济南,27,9分)如图,矩形OABC中,点O为原点,点A的坐标为(0,8),点C的坐标为(6,0).抛物线经过A、C两点,与AB边交于点D.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)点P为线段BC上一个动点(不与点C重合),点Q为线段AC上一个动点,AQ=CP,连接PQ,设CP=m,△CPQ的面积为S.
①求S关于m的函数表达式,并求出m为何值时,S取得最大值;
②当S最大时,在抛物线的对称轴l上若存在点F,使△FDQ为直角三角形,请直接写出所有符合条件的F的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】“机动车行驶到斑马线要礼让行人”等交通法规实施后,某校数学课外实践小组就对这些交通法规的了解情况在全校随机调查了部分学生,调查结果分为四种:A.非常了解,B.比较了解,C.基本了解,D.不太了解,实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图.
请结合图中所给信息解答下列问题:
(1)本次共调查 名学生;扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是 ;
(2)补全条形统计图;
(3)该校共有800名学生,根据以上信息,请你估计全校学生中对这些交通法规“非常了解”的有多少名?
(4)通过此次调查,数学课外实践小组的学生对交通法规有了更多的认识,学校准备从组内的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两名学生参加市区交通法规竞赛,请用列表或画树状图的方法求甲和乙两名学生同时被选中的概率.
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【题目】已知二次函数的图象经过点A(c,-2),。求证:这个二次函数图象的对称轴是x=3.题目中的矩形框部分是一段被墨水染污了无法辩认的文字.
(1)根据已知和结论中现有的信息,你能否求出题中的二次函数解析式?若能,请写出求解过程,并画出二次函数的图象;若不能,请说明理由.
(2)请你根据已有的信息,在原题中的矩形框中,填加一个适当的条件,把原题补充完整.
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【题目】在平面直角坐标系中,规定把一个三角形先沿着x轴翻折,再向右平移2个单位称为1次变换.如图,已知等边三角形ABC的顶点B、C的坐标分别是(﹣1,﹣1)、(﹣3,﹣1),把△ABC经过连续9次这样的变换得到△A′B′C′,则点A的对应点A′的坐标是______.
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【题目】已知点 A 在函数y1=-(x>0)的图象上,点 B 在直线 y2=kx+1+k(k 为常数,且 k≥0)上.若 A,B 两点关于原点对称,则称点 A,B 为函数 y1,y2 图象上的一对“友好点”.请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为( )
A.有1对或2对B.只有1对
C.只有2对D.有2对或3对
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【题目】为庆祝改革开放40周年,深圳举办了灯光秀,某数学兴趣小组为测量“平安金融中心”AB的高度,他们在地面C处测得另一幢大厦DE的顶部E处的仰角∠ECD=32°.登上大厦DE的顶部E处后,测得“平安中心”AB的顶部A处的仰角为60°,(如图).已知C、D、B三点在同一水平直线上,且CD=400米,DB=200米.
(1)求大厦DE的高度;
(2)求平安金融中心AB的高度.
(参考数据:sin32°≈0.53,cos32°≈0.85,tan32°≈0.62,≈1.41,≈1.73)
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【题目】在等边△ABC中,D是边AC上一点,连接BD,将△BCD绕点B逆时针旋转60°,得到△BAE,连接ED,若BC=5,BD=4,则以下四个结论中: ①△BDE是等边三角形; ②AE∥BC; ③△ADE的周长是9; ④∠ADE=∠BDC.其中正确的序号是( )
A.②③④B.①②④C.①②③D.①③④
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