Question

2．如图，抛物线y=$\frac{1}{2}{x^2}$-x-4与坐标轴相交于A、B、C三点，P是线段AB上一动点（端点除外），过P作PD∥AC，交BC于点D，连接CP．
（1）直接写出A、B、C的坐标；
（2）求抛物线y=$\frac{1}{2}{x^2}$-x-4的对称轴和顶点坐标；
（3）求△PCD面积的最大值，并判断当△PCD的面积取最大值时，以PA、PD为邻边的平行四边形是否为菱形．

Answer 1

分析 （1）设y=0，解一元二次方程即可求出A和B的坐标，设x=0，则可求出C的坐标．
（2）抛物线：$y=\frac{1}{2}{x}^{2}-x-4=\frac{1}{2}（x-1）^{2}-\frac{9}{2}$，所以抛物线的对称轴是直线x=1，顶点坐标是（1，-$\frac{9}{2}$）．
（3）设P（x，0）（-2＜x＜4），由PD∥AC，可得到关于PD的比例式，由此得到PD和x的关系，再求出C到PD的距离（即P到AC的距离），利用三角形的面积公式可得到S和x的函数关系，利用函数的性质即可求出三角形面积的最大值，进而得到x的值，所以PD可求，而PA≠PD，所以PA、PD为邻边的平行四边形不是菱形．

解答 解：（1）A（4，0）、B（-2，0）、C（0，-4）．
（2）抛物线：$y=\frac{1}{2}{x}^{2}-x-4=\frac{1}{2}（x-1）^{2}-\frac{9}{2}$，
∴抛物线的对称轴是直线x=1，顶点坐标是（1，-$\frac{9}{2}$）．
（3）设P（x，0）（-2＜x＜4），
∵PD∥AC，
∴$\frac{PD}{AC}=\frac{BP}{AB}$，
解得：$PD=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}（x+2）$，
∵C到PD的距离（即P到AC的距离）：$d=PA×sin{45^0}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}（4-x）$，
∴△PCD的面积$S=\frac{1}{2}×PD×d=\frac{1}{3}（x+2）（4-x）=-\frac{1}{3}{x^2}+\frac{2}{3}x+\frac{8}{3}$，
∴$S=-\frac{1}{3}{（x-1）^2}+3$，
∴△PCD面积的最大值为3，
当△PCD的面积取最大值时，x=1，PA=4-x=3，$PD=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}（x+2）=2\sqrt{2}$，
因为PA≠PD，所以以PA、PD为邻边的平行四边形不是菱形．

点评 本题考查了二次函数和坐标轴的交点问题、平行线分线段成比例定理、特殊角的锐角三角形函数值、二次函数的最值问题以及菱形的判定，题目的综合性较强，难度中等．