Question

【题目】探究：已知，如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D是线段AB上一个动点．

（1）画出点D关于直线AC、BC的对称点M、N；

（2）在（1）的条件下，连接MN

①求证：M、C、N三点在同一条直线上；

②求MN的最小值．

应用：已知，如图2，在△ABC中，∠C＝30°，AC＝CB，AB＝3，△ABC的面积为S，点D、E、F分别是AB、AC、BC上三个动点，请用含S的代数式直接表示△DEF的周长的最小值，并在图2中画出符合题意的图形．

Answer 1

【答案】探究：（1）见解析；（2）①证明见解析；②MN的最小值是；应用：△DEF的周长的最小值为，画出符合题意的图形见解析.

【解析】

（1）根据对称点的作法作图即可；

（2）①利用对称的性质结合∠ACB＝90°证明∠MCN＝180°即可；

②由题意可知MN＝2CD，所以当CD⊥AB时，CD的值最小，再利用面积法求解即可；

应用：如图2中，设D是AB上任意一点，作点D关于直线AC的对称点D′，点D关于直线BC的对称点D″，连接D′D″交AC于E，交BC于F，作CH⊥AB于H．由△DEF的周长＝DE+EF+DF＝D′E+EF+FD″＝D′D″＝CD，推出CD的值最小时，△DEF的周长最小，由此即可解决问题.

探究：（1）解：如图1中，点M，N即为所求；

（2）①证明：连接CD、CM、CN，

由对称的性质可知：∠ACD＝∠ACM，∠BCD＝∠BCN，

∵∠ACD+∠BCD＝90°，

∴∠MCD+∠NCD＝2（∠ACD+∠BCD）＝180°，

∴M、C、N三点在同一条直线上；

②解：∵CM＝CD，CN＝CD，

∴MN＝CM+CN＝2CD，

∴当CD最短时，MN的值最小，

∵CD⊥AB时，垂线段最短，

∴CD的最小值＝，

∴MN的最小值是；

应用：解：如图2中，设D是AB上任意一点，作点D关于直线AC的对称点D′，点D关于直线BC的对称点D″，连接D′D″交AC于E，交BC于F，作CH⊥AB于H．

由对称的性质可知：CD＝CD′＝CD″，ED＝ED′，FD＝FD″，∠ACD＝∠ACD′，∠BCD＝∠BCD″，

∴∠D′CD″＝2∠ACB＝60°，

∴△D′CD″是等边三角形，

∴D′D″＝CD′＝CD，

∵△DEF的周长＝DE+EF+DF＝D′E+EF+FD″＝D′D″＝CD，

∴CD的值最小时，△DEF的周长最小，

所以当CD与CH重合时，CD的值最小，

∵ABCH＝S，即，

∴CH＝，

∴△DEF的周长的最小值为．