Question

如图，在正方形ABCD中，F是DC边的中点，E为BC边上的一点，且EC=

1

4

BC．请猜想AF与EF的关系，并说明理由．

Answer 1

考点：勾股定理的逆定理,勾股定理

专题：

分析：设FC=a，分别计算AF，EF，AE的值，根据三角形三边长和勾股定理的逆定理可以判定△AEF为直角三角形，即可证明AE⊥EF．

解答：证明：AF⊥EF．
设EC=a，则DC=DA=AB=BC=4a
所以BE=3a，CF=DF=2a．
由勾股定理得AE=5a，
EF=

5

a，AF=2

5

a，
∵（

5

a）²+（2

5

）²=（5a）²
即EF²+AF²=AE²
∴△AEF为直角三角形，斜边为AE，
故∠AFE=90°，
即AF⊥EF．

点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了正方形各边长相等、各内角为直角的性质，考查了勾股定理的逆定理判定直角三角形的方法，本题中判定△AEF为直角三角形是解题的关键．