Question

【题目】本市新建一座圆形人工湖，为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A，B，C三根木柱，使得A，B之间的距离与A，C之间的距离相等，并测得BC长为120米，A到BC的距离为4米，如图所示．
（1）请你帮他们求出该湖的半径；
（2）如果在圆周上再另取一点P，建造一座连接B，C，P三点的三角形艺术桥，且△BCP为直角三角形，问：这样的P点可以有几处？如何找到？

Answer 1

【答案】
（1）解：设圆心为点O，连接OB，OA，OA交线段BC于点D，

∵AB=AC，

∴ = ，

∴OA⊥BC，

∴BD=DC= BC=60

∵DA=4米，

在Rt△BDO中，OB2=OD2+BD2，

设OB=x米，

则x2=（x﹣4）2+602，

解得x=452．

∴人工湖的半径为452米

（2）解：这样的P点可以有2处，过点B或点C作BC的垂线交圆于一点，此点即为P点．

【解析】（1）设圆心为点O，连接OB，OA，AB=AC，得出 = ，再根据等弦对等弧，得出点A是弧BC的中点．结合垂径定理的推论，知OA垂直平分弦，设圆的半径，结合垂径定理和勾股定理列出关于半径的方程，即可求得圆的半径；（2）根据垂直的定义即可得到结论．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用垂径定理的推论的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握推论1：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧B、弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧C、平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；推论2 ：圆的两条平行弦所夹的弧相等．