Question

【题目】图1、图2为同一长方体房间的示意图，图3为该长方体的表面展开图．

（1）蜘蛛在顶点A′处．

①苍蝇在顶点B处时，试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线；

②苍蝇在顶点C处时，图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板ABCD爬行的最近路线A′GC和往墙面BB′C′C爬行的最近路线A′HC，试通过计算判断哪条路线更近；

（2）在图3中，半径为10dm的⊙M与D′C′相切，圆心M到边CC′的距离为15dm，蜘蛛P在线段AB上，苍蝇Q在⊙M的圆周上，线段PQ为蜘蛛爬行路线，若PQ与⊙M相切，试求PQ长度的范围．

Answer 1

【答案】（1）①作图见试题解析；②往天花板ABCD爬行的最近路线A′GC更近；（2）dm≤PQ≤55dm．

【解析】

试题分析：（1）①根据“两点之间，线段最短”可知：线段A′B为最近路线；

②Ⅰ．将长方体展开，使得长方形ABB′A′和长方形ABCD在同一平面内，如图2①，运用勾股定理求出AC长；Ⅱ．将长方体展开，使得长方形ABB′A′和长方形BCC′B′在同一平面内，如图2②，运用勾股定理求出A′C长，然后将两个长度进行比较，就可解决问题；

（2）过点M作MH⊥AB于H，连接MQ、MP、MA、MB，如图3．由⊙M与D′C′相切于点Q可得MQ⊥PQ，即∠MQP=90°，根据勾股定理可得PQ=．要求PQ的取值范围，只需先求出MP的取值范围，就可解决问题．

试题解析：（1）①根据“两点之间，线段最短”可知：线段A′B为最近路线，如图1所示．

②Ⅰ．将长方体展开，使得长方形ABB′A′和长方形ABCD在同一平面内，如图2①．

在Rt△A′B′C中，∠B′=90°，A′B′=40，B′C=60，∴AC===；

Ⅱ．将长方体展开，使得长方形ABB′A′和长方形BCC′B′在同一平面内，如图2②．

在Rt△A′C′C中，∠C′=90°，A′C′=70，C′C=30，∴A′C===．∵＜，∴往天花板ABCD爬行的最近路线A′GC更近；

（2）过点M作MH⊥AB于H，连接MQ、MP、MA、MB，如图3．

∵半径为10dm的⊙M与D′C′相切，圆心M到边CC′的距离为15dm，BC′=60dm，∴MH=60﹣10=50，HB=15，AH=40﹣15=25，根据勾股定理可得AM===，MB===，∴50≤MP≤．∵⊙M与D′C′相切于点Q，∴MQ⊥PQ，∠MQP=90°，∴PQ=．当MP=50时，PQ==；

当MP=时，PQ==55．

∴PQ长度的范围是dm≤PQ≤55dm．