Question

11．解方程
（1）x²-2x-3=0
（2）y²+8y-1=0
（3）$\frac{{{x^2}+1}}{x}+\frac{2x}{{{x^2}+1}}$=3
解方程组：
（4）$\left\{\begin{array}{l}x-3y=0\\{x^2}+{y^2}=20\end{array}$．

Answer 1

分析 （1）分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）首先进行移项变形为y²+8y=1，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，则方程的左边是完全平方式，右边是常数，则利用直接开平方法即可求解；
（3）本题考查用换元法解分式方程的能力．因为$\frac{{x}^{2}+1}{x}$与$\frac{x}{{x}^{2}+1}$互为倒数，所以可设t=$\frac{{x}^{2}+1}{x}$，然后对方程进行整理变形；
（4）由方程x-3y=0得x=3y，将x=3y代入第二个方程，解关于y的方程可得y的值，再将y的值代回x=3y可得x的值．

解答 解：（1）方程左边因式分解，得：（x+1）（x-3）=0，
则x+1=0或x-3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3；
（2）由原方程得：y²+8y=1，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方得：y²+8y+16=1+16，
即：（y+4）²=17，
直接开平方的：y+4=$±\sqrt{17}$，
解得：y₁=-4+$\sqrt{17}$，y₂=-4-$\sqrt{17}$；
（3）令t=$\frac{{x}^{2}+1}{x}$，则原方程可化为：t+$\frac{2}{t}$=3，即：t²-3t+2=0，
因式分解得：（t-1）（t-2）=0，
∴t=1或t=2，
当t=1时，$\frac{{x}^{2}+1}{x}$=1，即：x²-x+1=0，
∵△=（-1）²-4×1×1=-3＜0，
∴此时原分式方程无解；
当t=2时，$\frac{{x}^{2}+1}{x}$=2，即：x²-2x+1=0，
解得：x=1，
经检验：x=1是原分式方程的解，
故缘分是方程的解是：x=1；
（4）由方程x-3y=0，得：x=3y，
将x=3y代入方程x²+y²=20，得：9y²+y²=20，即10y²=20，
解得：y=$\sqrt{2}$或y=-$\sqrt{2}$，
当y=$\sqrt{2}$时，x=3y=3$\sqrt{2}$，
当y=-$\sqrt{2}$时，x=3y=-3$\sqrt{2}$，
故方程组的解为：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=3\sqrt{2}}\\{{y}_{1}=\sqrt{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-3\sqrt{2}}\\{{y}_{2}=-\sqrt{2}}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查因式分解法、配方法、换元法解方程及代入法解方程组，观察方程或方程组的特点选择合适方法是解题的根本，熟练各种方法计算是关键．