Question

【题目】如图，抛物线y=mx2+2mx﹣3与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，与y轴交于点C，且x2﹣x1=4．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求抛物线的对称轴上存在一点P，使PA+PC的值最小，求此时点P的坐标；

（3）点M是抛物线上的一动点，且在第三象限．

①当M点运动到何处时，△AMB的面积最大？求出△AMB的最大面积及此时点M的坐标．

②当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+2x3；（2）P的坐标为：（-1，-2）；（3）①点M的坐标为（-1，-4）时，△AMB的面积最大，最大值为8；②点M的坐标为（-，-）时，四边形AMCB的面积最大，最大值为．

【解析】

（1）由，与，联立方程组求出，再将A或B点坐标代入抛物线即可求解；

（2）根据两点之间线段最短，连接AC交抛物线的对称轴于点P，则PA+PC的值最小，求出直线PC的解析式，与对称轴的交点即为所求；

（3）

（1）由题意得，解得，∴B点坐标为（1,0），

将（1,0）代入得，，∴

抛物线的表达式为：．

（2）如图1，连接AC交抛物线的对称轴于点P，则PA+PC的值最小，

当y=0时，，解得：x=-3或x=1．

∵A在B的左侧，∴A（-3，0），B（1，0），设直线AC的解析式为：y=kx+b，则

，解得：，

∴直线AC的解析式为：，

∵抛物线对称轴

当时，，∴点P的坐标为：（-1，-2）

（3）如图2，点M是抛物线上的一动点，且在第三象限，∴-3＜x＜0；

①设点M的坐标为： ，

∵点M在第三象限，∴M到x轴的距离为

∵，∴S△AMB=．

∴当x=-1时，即点M的坐标为（-1，-4）时，△AMB的面积最大，最大值为8；

②设点M的坐标为：，如图3，过点M作MD⊥AB于D，则

，，

∴S四边形ABCM=S△OBC+S△ADM+S梯形OCMD

=

=

=

= ，∴当时，，

即当点M的坐标为时，四边形AMCB的面积最大，最大值为．