Question

【题目】已知，如图1，△ABC中，BA=BC，D是平面内不与A、B、C重合的任意一点，∠ABC=∠DBE，BD=BE．

（1）求证：△ABD≌△CBE；

（2）如图2，当点D是△ABC的外接圆圆心时：

①请判断四边形BDCE的形状，并证明你的结论

②当∠ABC为多少度时，点E在圆D上？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①四边形BDCE是菱形，证明见解析；②60°，理由见解析.

【解析】

（1）由∠ABC=∠DBE可知∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD，即∠ABD=∠CBE，根据SAS可证△ABD≌△CBE；

（2）①根据点D是△ABC的外接圆圆心可知DB=DA=DC，由（1）中全等得AD=CE ，进而得到DB=DC=BE=CE，根据菱形判定定理可知四边形BDCE是菱形；

②点E在圆D上，则DE=BD，根据BD=BE，则△BDE为等边三角形，即可知∠EBD为60°，根据题意∠ABC=∠DBE，即可求得∠ABC的度数.

(1)

∵∠ABC=∠DBE

∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD

即∠ABD=∠CBE

∵BA=BC，BD=BE

∴△ABD≌△CBE（SAS）

(2)①四边形BDCE是菱形；理由如下：

点D是△ABC的外接圆圆心，∴DB=DA=DC

∵△ABD≌△CBE ∴AD=CE ∴DB=DC=BE=CE

∴四边形BDCE是菱形

②当∠ABC为60°时，点E在圆D上，

证明：∵点E在圆D上，∴DE=BD，

∵BD=BE

∴△BDE为等边三角形

∴∠EBD=60°，

∴∠ABC=∠DBE=60°

∴当∠ABC为60°时，点E在圆D上