【题目】综合与实践 在中,
,点
为斜边
上的动点(不与点
重合).
(1)操作发现: 如图①,当时,把线段
绕点
逆时针旋转
得到线段
,连接
.
①的度数为________;
②当________时,四边形
为正方形;
(2)探究证明: 如图②,当时,把线段
绕点
逆时针旋转
后并延长为原来的两倍, 记为线段
,连接
.
①在点的运动过程中,请判断
与
的大小关系,并证明;
②当时,求证:四边形
为矩形.
【答案】(1)①,②
;(2)①
;证明见解析;②见解析.
【解析】
(1)①由等腰三角形的性质得出∠A=∠ABC=45°,由旋转的性质得:∠ACD=∠BCE,CD=CE,证明△BCE≌△ACD,即可得出结果;
②由四边形为正方形,得BE=CD,∠CDB=90°,因为AC=BC,所以△ABC是等腰三角形,所以∠A=∠ABC=45°,解直角三角形可得CD的长,从而得到BE的长;
(2)①证明△ACD∽△BCE,即可得出;
②由垂直的定义得出,由
得∠DBE=90°,因为
,所以得到四边形CDBE为矩形.
解:(1)①∵∠ACB=90°,AC=BC
∴∠A=∠ABC=45°
由旋转的性质得:∠ACD=∠BCE,CD=CE
在△BCE和△ACD中,
∴△BCE≌△ACD(SAS)
∴∠CBE=45°
②当BE=时,四边形
为正方形.理由如下:
∵四边形为正方形
∴BE=CD,∠CDB=90°
∴CD⊥AB
∵AC=BC=8
∴△ABC是等腰三角形
∴∠A=∠ABC=45°
∴CD=ACsin45°=8×
=4
∴BE=4
即当BE=时,四边形
为正方形.
(2)①
证明:如图,
又
②证明:由(2)①得
又
四边形
是矩形
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线与
轴交于点
,与
轴交于点
,与函数
的图象的一个交点为
.
(1)求,
,
的值;
(2)将线段向右平移得到对应线段
,当点
落在函数
的图象上时,求线段
扫过的面积.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线过点
,与
轴交于点
,连接
将
沿
所在的直线翻折,得到
连接
.
(1)若求抛物线的解析式.
(2)如图1,设的面积为
的面积为
,若
,求
的值.
(3)如图2,若
点是半径为
的
上一动点,连接
当点
运动到某一位置时,
的值最大,请求出这个最大值,并说明理由.
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【题目】随着天气的逐渐炎热(如图1),遮阳伞在我们的日常生活中随处可见如图2所示,遮阳伞立柱OA垂直于地面,当将遮阳伞撑开至OD位置时,测得∠ODB=45°,当将遮阳伞撑开至OE位置时,测得∠OEC=30°,且此时遮阳伞边沿上升的竖直高度BC为20cm,求若当遮阳伞撑开至OE位置时伞下阴凉面积最大,求此时伞下半径EC的长.(结果保留根号)
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【题目】已知:在中,
,
都是
的半径,过
作
交
于点
,过点
作
的切线交
的延长线于点
.
(1)如图1,求证:;
(2)如图2,点在
上,连接
并延长交
于点
,连接
,若
,求证:四边形
是平行四边形;
(3)如图3,在(2)的条件下,点在
上,连接
,且
,点
在
上,连接
,
,
交
于点
,且
,若
,
,求
的长.
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【题目】如图,在⊙O中,C,D分别为半径OB,弦AB的中点,连接CD并延长,交过点A的切线于点E.
(1)求证:AE⊥CE.
(2)若AE=2,sin∠ADE=,求⊙O半径的长.
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【题目】在中,
,
,
.
(1)如图1,折叠使点
落在
边上的点
处,折痕交
、
分别于点
、
,若
,则
________.
(2)如图2,折叠使点
落在
边上的点
处,折痕交
、
分别于点
、
.若
,求证:四边形
是菱形;
(3)在(1)(2)的条件下,线段上是否存在点
,使得
和
相似?若存在,求出
的长;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(0,8),点 B(b,t)在直线x=b上运动,点D、E、F分别为OB、0A、AB的中点,其中b是大于零的常数.
(1)判断四边形DEFB的形状.并证明你的结论;
(2)试求四边形DEFB的面积S与b的关系式;
(3)设直线x=b与x轴交于点C,问:四边形DEFB能不能是矩形?若能.求出t的值;若不能,说明理由.
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