Question

【题目】如图1，在□ABCD中，，，，射线AE平分动点P以的速度沿AD向终点D运动，过点P作交AE于点Q，过点P作，过点Q作，交PM于点设点P的运动时间为，四边形APMQ与四边形ABCD重叠部分面积为

______用含t的代数式表示

当点M落在CD上时，求t的值．

求S与t之间的函数关系式．

如图2，连结AM，交PQ于点G，连结AC、BD交于点H，直接写出t为何值时，GH与三角形ABD的一边平行或共线．

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）

（4）或或4s时，GH与三角形ABD的一边平行或共线

【解析】

（1）由题意得△APQ是直角三角形，∠PAQ=60°，利用正切值即可求得PQ的值；

（2）如图2，由题意可知∠D=60°，四边形APMQ为平行四边形，得∠DPQ=60°，所以△DPM是等边三角形，则DP=MP=AQ=2PA，即6－t=2t，解得t=2；

（3）如图1，3，4，分，，三种情况讨论，分别计算出三种情况下的重叠部分面积为与t的函数关系式即可；

（4）如图5，6，7，分别计算出当，或GH与BD重合，或时，三种情况下t的值即可.

如图1中，

，AE平分，

，

，

，

，

∴.

故答案为

如图2中，

四边形ABCD是平行四边形，

，

，

，，

，四边形APMQ是平行四边形，

是等边三角形，，

，

，

．

当时，如图1中，重叠部分是平行四边形APMQ，；

如图3中，当时，重叠部分五边形APSTQ，

易证△MST为等边三角形，则MT=MP﹣PS=MP﹣DP=2t﹣(6﹣t)=3t﹣6，

故．

如图4中，当时，重叠部分是四边形PSTA．

则

综上所述，．

如图5中，当时，，

点M在线段CD上，此时．

如图6中，当GH与BD重合时，作交DA的延长线于T．

在中，，，

，，

，

，

，

解得

如图7中，当时，易证B，C，Q共线，

可得是等边三角形，，

，

，

综上所述，或或4s时，GH与三角形ABD的一边平行或共线．