Question

【题目】三条边都相等的三角形叫做等边三角形，它的三个角都是60°. △ABC是等边三角形，点D在BC所在直线上运动，连接AD，在AD所在直线的右侧作∠DAE=60°，交△ABC的外角∠ACF的角平分线所在直线于点E.

（1）如图1，当点D在线段BC上时，请你猜想AD与AE的大小关系，并给出证明；

（2）如图2，当点D在线段BC的反向延长线上时，依据题意补全图形，请问上述结论还成立吗?请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）AD=AE,证明见解析；（2）成立，证明见解析.

【解析】试题分析: （1）由等边三角形的性质得到∠B=∠ACE=60°，AB=AC，再有∠DAB=∠EAC可证明△ABD≌△ACE即可得到结论；

（2）由等边三角形的性质得到∠ABD=∠ACE=120°，AB=AC，再有∠DAB=∠EAC可证明△ABD≌△ACE即可得到结论.

试题解析:

（1）结论：AD=AE，理由如下：

∵△ABC是等边三角形，

∴∠B=∠ACE=60°，AB=AC

∵∠DAE=60°，CE平分∠ACF，

∴∠BAD=∠CAE，

∴△ABD≌△ACE,

∴AD=AE；

（2）如图所示，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABD =120°，AB=AC,

∵CF平分△ABC的外角，

∴∠ACE=120°

∴∠ABD=∠ACE

∵∠DAE=∠BAC=60°

∴∠DAB=∠EAC

∴△ABD≌△ACE,

∴AD=AE.