Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线行经过点和点，交轴正半轴于点，连接，点是线段上动点(不与点重合)，以为边在轴上方作正方形，接，将线段绕点逆时针旋转90°，得到线段，过点作轴，交抛物线于点，设点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若与相似求的值；

（3）当时，求点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝－x2+3x+4；（2）a＝或；（3）点P的坐标为(1，4)或(2，4)或(，4)

【解析】

（1）点C（0，4），则c=4，二次函数表达式为：y=-x2+bx+4，将点A的坐标代入上式，即可求解；
（2）△AOC与△FEB相似，则∠FBE=∠ACO或∠CAO，即：tan∠FEB=或4，即可求解；
（3）证明△PNF≌△BEF（AAS），PH=2，则-4a2+6a+4-4=|2|，即可求解．

解：(1)将点A和点C的坐标代入上式得：0＝－1－b+4，

解得：b＝3，

故抛物线的表达式为：y＝－x2+3x+4；

(2)∵tan∠ACO＝＝，

△AOC与△FEB相似，则∠FBE＝∠ACO或∠CAO，

∴tan∠FBE＝或4，

∵四边形OEFG为正方形，则FE＝OE＝a，EB＝4－a，

则或，

解得：a＝或；

(3)令y＝－x2+3x+4＝0，解得：x＝4或－1，故点B(4，0)；

分别延长GF、HP交于点N，

∵∠PFN+∠BFN＝90°，∠FPN+∠PFN＝90°，

∴∠FPN＝∠NFB，

∵GN∥x轴，∴∠FPN＝∠NFB＝∠FBE，

∵∠PNF＝∠BEF＝90°，FP＝FB，

∴△PNF≌△BEF(AAS)，

∴FN＝FE＝a，PN＝EB＝4－a，

∴点P(2a，4)，点H(2a，－4a2+6a+4)，

∵PH＝2，

即：－4a2+6a+4－4＝±2，

解得：a＝1或或或(舍去)，

故：点P的坐标为(1，4)或(2，4)或(，4)．