Question

【题目】如图，在直角坐标系中，四边形OABC为矩形，A（6，0），C（0，3），点M在边OA上，且M（4，0），P、Q两点同时从点M出发，点P沿x轴向右运动；点Q沿x轴先向左运动至原点O后，再向右运动到点M停止，点P随之停止运动．P、Q两点运动的速度分别为每秒1个单位、每秒2个单位．以PQ为一边向上作正方形PRLQ．设点P的运动时间为t（秒），正方形PRLQ与矩形OABC重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位）．

（1）用含t的代数式表示点P的坐标．

（2）分别求当t=1，t=3时，线段PQ的长．

（3）求S与t之间的函数关系式．

（4）直接写出L落在第一象限的角平分线上时t的值．

Answer 1

【答案】（1）P（4+t，0）（0≤t≤4）；（2）当t=1时， PQ=3，当t=3时， PQ=5；（3）S=；（4）t=或s时，L落在第一象限的角平分线上．

【解析】

（1）求出OP的长即可解决问题；

（2）法两种情形分别求出MQ、PM的长即可解决问题；

（3）法三种情形：①如图1中，当0≤t≤1时，重叠部分是正方形PQLR；②如图2中，当1＜t≤2时，重叠部分是四边形PQDE；③如图3中，当2＜t≤4时，重叠部分是四边形ABDQ，分别求解即可；

（4）根据OQ=PQ，构建方程即可解决问题.

解：（1）如图1中，∵M（4，0），

∴OM=4．PM=t，

∴OP=4+t，

∴P（4+t，0）（0≤t≤4）．

（2）当t=1时，MQ=2，MP=1，

∴PQ=3．

当t=3时，MQ=2，PM=3，

∴PQ=2+3=5．

（3）①如图1中，当0≤t≤1时，重叠部分是正方形PQLR，S=PQ2=9t2

②如图2中，当1＜t≤2时，重叠部分是四边形PQDE，S=PQDQ=9t．

③如图3中，当2＜t≤4时，重叠部分是四边形ABDQ，S=AQAB=3[6-2（t-2）]=-6t+30．

综上所述，S=．

（4）L落在第一象限的角平分线上时，OQ=LQ=PQ，

∴4-2t=3t或2（t-2）=t+4-2（t-2），

解得t=或．

∴t=或s时，L落在第一象限的角平分线上．